Działania na liczbach z pierwiastkiem

Data ostatniej modyfikacji:
2010-08-22

Niektóre liczby mogą być zapisane w sposób dokładny tylko przy użyciu symbolu pierwiastka. Na przykład √36 = 6, ale nie potrafimy podać dokładnej wartości √32, możemy podać tylko wartość przybliżoną √32 ≈ 5,65685425...

Kiedy wykonujemy działania na liczbach z pierwiastkiem, staramy się podać wynik w jak najprostszej postaci, wykorzystując różne własności pierwiastkowania.

 

  • upraszczanie

    korzystamy z tego, że √(a·b) = √a · √b

 

  • dodawanie i odejmowanie
    2√3 + 5√3 - 3√2 = 7√3 - 3√2
    √5 + 5√6 - 3√5 + 2√6 = 7√6 - 2√5
    liczby z pierwiastkami dodajemy i odejmujemy tak, jak wyrazy podobne w wyrażeniach algebraicznych

  • mnożenie
    6√5 · 2√7 = 12√35
    korzystamy z przemienności mnożenia i z tego, że √a · √b = √(a·b)

 

  • dzielenie
    12√15 : 3√3 = = 4√5
    korzystamy z tego, że √a : √b = √(a:b)

 

  • usuwanie niewymierności z mianownika

    gdy w mianowniku jest jednomian z pierwiastkiem, mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek

    gdy w mianowniku jest dwumian z pierwiastkiem, mnożymy licznik i mianownik przez tzw. dwumian sprzężony (czyli ze zmienionym znakiem) i korzystamy z tego, że
    (
    a + √b) (√a - √b) = a - b


A teraz spróbuj sam:

1) Wyłącz kwadrat spod pierwiastka.
√36          √180
√98          √14400
√605        √1152

2) Dla treningu uprość te wyrażenia.

√50 3√7 - 2√5 + 3√5 - 4√7 6√18 · 3√2
5√54 8√6 + 3√24 + 5√54 9√90 : 3√6


 

Ekstra

Tego szukałem. Wielkie dzięki!!!

Mam zadanie

Mam zadanie i proszę o jego rozwiązanie.
2x-3 pod pierwiastkiem 2 -7
0,125 . 4 = { ------------------- }
8

Nieczytelny wpis

Twój wpis jest zupełnie nieczytelny. Jeśli chcesz wpisywać wzory matematyczne, użyj ściągi "edytor wzorów TeXa" z paska poziomego menu. Każdy wzór trzeba poprzedzić tagiem tex (w nawiasie kwadratowym) i zakończyć /tex (rónież w nawiasie kwadratowym), ale nawet jeśli zapomnisz o tych tagach, wzór będzie czytelny.
A jeśli potrzebujesz pomocy w rozwiązaniu zadania, skorzystaj z korepetycji on-line w dziale "Dodatki dla ucznia". Ktoś Ci na pewno odpisze.

Byłoby super

Wszystko super, ale gdyby było więcej przykładów (i odpowiedzi), byłoby lepiej.

Zadanie

Mam problem z rozwiązaniem takiego przykładu:
 (\sqrt{2- \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}})^2.

Wygląda na dość prosty. Wiem, że pierwiastek kwadratowy z potęgą 2 (nie wiem jak z innymi potęgami typu 3, 4, 5) redukuję się.
Czy ktoś może mi pomóc? Prosiłbym o pełną odpowiedź, tzn. byłoby mi bardzo miło, gdyby ktoś spróbował rozpisać ten przykład na czynniki.

A to moje rozwiązanie tego przykładu:
( \sqrt{2- \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 =  2 - \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 0 .

W sumie to prawie nic tutaj nie zrobiłem.

Z góry dziękuję i pozrdawiam :)

Tak jest bardzo źle

Mateusz nie napisał co prawda, na czym polega jego zadanie (nie można rozwiązać "przykładu", można rozwiązać np. równanie, ale u niego żadnego równania nie ma), ale domyślamy się, że chodzi o to, aby uprościć to wyrażenie. Propozycja Mateusza jest jednak niepoprawna. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń oblicza się ze wzoru skróconego mnożenia: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2. Zatem powinno być:
\sqrt{2-\sqrt{3}}^2 - 2\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}^2 =

Teraz dopiero można redukować pierwiastki i kwadraty, a w wyrazie środkowym wciągnąć wszystko pod jeden pierwiastek, bo przecież \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}.

Zatem mamy dalej: 2-√3 - 2\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) + 2+√3 = 4 - 2\sqrt{2^2 - 3} = 4-2 = 2.

Warto jeszcze na początku zauwazyć, że liczba 2-√3 pod pierwszym pierwiastkiem była dodatnia, wiec wyciąganie pierwiastka w ogóle miało sens.

A co w takim wypadku?

A jeśli pod pierwiastkiem mamy 25+49 to co należy zrobic? Czy wynik będzie równy 12?

Wyliczamy po kolei

Wartość \sqrt{25+49} wyliczamy "po kolei", zaczynając od dodawania. Otrzymujemy: \sqrt{74} a tego już się prościej zapisać nie da.

Jak dodawać pierwiastki?

Ale jak konkretnie dodawać pierwiastki, gdy nie są podobne?

Pierwiastki podobne

Zapewne przez "pierwiastki podobne" rozumiesz np. wyrażenia 2√3 i 5√3. Takie wyrażenia można "dodać", tzn. uprościć zapis: 2√3 + 5√3 = 7√3.
Pierwiastki "niepodobne" to np. √2 i √3, ale tych liczb nie można "dodać", nie da się uprościć zapisu √2+√3. Można ewentualnie dodać przybliżone wartości składników i obliczyć przybliżenie dziesiętne tej sumy, które wynosi 3,14626437...

Proszę o pomoc

Mam takie zadanie: Rozwiąż trójkąt prostokątny, mając dane przyprostokątne a=√2-1,  b=√6-√3. Z góry dziekuję za pomoc.

Odpowiedź

Zacznijmy od tego, że "rozwiązać trójkąt" to znaczy podać jego brakujące boki i kąty. W tym przypadku brakującym bokiem jest przeciwprostokątna, którą obliczymy z twierdzenia Pitagorasa: c2 = a2+b2 = (√2-1)2+(√6-√3)2 = tu zastosujemy wzory skróconego mnożenia
= (2+1-2√2) + (6+3-2√18) = 3+9 - 2√2-6√2 = 12 - 4√2 >0.
Zatem c = \sqrt{12-4\sqrt{2}}.

Do obliczenia brakujących kątów potrzebna jest trygonometria:
tg α = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}=
usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika
= \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{3} = \frac{\sqrt{12}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}= \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}= \frac{\sqrt{3}}{3},
czyli α = 30° . Stąd β =60°.

Pytanie

Jak rozpisać pierwiastek z 3474?

Odpowiedź

Nie jest jasne, co to znaczy "rozpisać" √3474. Zapewne chodzi o to, żeby wyłączyć spod pierwiastka pełny kwadrat. Mamy 3474 = 4·5·9·193, zatem √3474 = 2·3\sqrt{5\cdot193} = 6√965.

Zadanie

Oblicz:
√144
√8 100
√12 100
√40 000
√9 000 000

To łatwe

12, bo 12·12 = 144
90, bo √8100 = √81·√100 = 9·10
110, bo √12100 = √121·√100 = 11·10
200, bo √40000 = √4·√10000 = 2·100
3000, bo √9000000 = √9·√1000000 = 3·1000

Dzięki!

Jesteś super, dzięki wielkie. Pomogłeś mi. Już prawie to umiem.
Zwalista stronka. Ocena 100/100.

Fenomenalne!

Fenomenalne! Właśnie takiego sensownego wyjaśnienia szukałam.

Dzielenie

Mam wątpliwość do tak zapisanego działania
12√15 : 3√3 = 4√5.
Aby otrzymać ten wynik liczba 3√3 powinna być w nawiasie. W przypadku tak zapisanego działania wynik wynosi 12√5.

Odpowiedź

Wątpliwość jest uzasadniona. Zasady kolejności działań mówią, że mnożenie i dzielenie są równoprawne i wykonywane są po kolei. Zatem podane działanie byłoby odczytane jako
12 · √15 : 3 · √3 = 4√15√3 = 4·3√5 = 12√5.
Jednak opuszczenie znaku mnożenia przed pierwiastkami sugeruje, że należy te mnożenia wykonać w pierwszej kolejności, traktując iloczyny jako swoiste wyrażenia arytmetyczne, które trzeba podzielić. Zatem w opisanym przypadku wynikiem powinno być jednak 4√5, natomiast bez opuszczenia symboli mnożenia - z całą pewnością 12√5.

Proszę o pomoc

Proste, ale starość nie radość. Proszę o rozwiązanie przykładu (√12 - 2√27)/√3. Ile to będzie?

Wynik

Wynik to (-4). Oto rachunki:
\frac{\sqrt{12}-2\sqrt{27}}{\sqrt3}
=\frac{\sqrt{4\cdot3}-2\sqrt{9\cdot3}}{\sqrt3}
=\frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}-2\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt3}    teraz skracamy √3
= √4 - 2√9 = 2 - 2·3 = 2 - 6 = -4

Pamiętaj o wzorach skróconego mnożenia

Pamiętaj, że istnieje coś takiego jak wzory skróconego mnożenia! Tutaj mamy do czynienia z jednym z nich: (a-b)2 = a2 -2ab + b2.

Dodawanie pierwiastków

Skończyłam szkołę parę lat temu i chciałam sobie odświeżyć pewne rzeczy, bo okazuje się, że nie pamiętam, w jaki sposób dodaje się pierwiastki różnych stopni. Nawet próbowałam rozwiązać takie zadanie, ale cały czas się zawieszam. Bardzo prosze o przypomnienie:) Pozdrawiam.

Pierwiastki różnych stopni

Takich liczb na ogól nie daje się dodać, np.
\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} jest zapisane najprościej, jak się da. Można ewentualnie podać wynik przybliżony 2,674134612... Najlepiej przyślij przykład, z którym nie umiałaś sobie poradzić.

Pierwiastki różnych stopni

Jeżeli pierwiastki różnią się stopniem (np. pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch i pierwiastek kwadratowy z dwóch), to jak je dodać, odjąć, podzielić, pomnożyć?

Czytajcie!!!

No masz przecież wyżej napisane, że takich liczb nie da się dodać (więc także odjąć). Pomnożyć lub podzielić można pierwiastki różnych stopni, gdy są wyciągane z tej samej liczby. Wtedy dodajemy lub odejmujemy stopnie pierwiastków, tak jak zawsze przy podnoszeniu do potęg. Pierwiastek kwadratowy to przecież potęga o wykładniku 1/2, a pierwiastek trzeciego stopnia to potęga 1/3.

Jedyna taka strona

Jedyna strona, na której znalazłem pełną listę wzorów. Dzięki!

Zapisz w najprostszej postaci

Zapisz w jak najprostszej postaci wyrażenie \sqrt{3}( \sqrt{5}+2 \sqrt{5}). Wytłumaczcie mi, jak to się robi.

Wystarczyło przeczytać

Wszystkie potrzebne zasady masz opisane powyżej na stronie. Najpierw wykonujemy dodawanie w nawiasie i otrzymujemy 3√5. Potem wykonujemy mnożenie, korzystając z przemienności i wciągamy obie liczby pod wspólny pierwiastek, dokładnie tak, jak pokazano w przykładach wyżej. Otrzymamy √3·3√5 = 3√15 i to już jest najprostsza postać.

Powrót na górę strony