Potęgowanie

Potęgowanie

Data ostatniej modyfikacji:
2010-06-30

Poniżej podajemy podstawowe własności potęgowania wraz z przykładami oraz z prostymi ćwiczeniami do samodzielnego wykonania.

Podnoszenie do potęgi naturalnej

Zapis 7⁵ oznacza 7×7×7×7×7, bo potęgowanie jest skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. 7⁵ = 16 807, co można wyliczyć na kalkulatorze.

Drugie potęgi liczb nazywany krótko kwadratami, a trzecie - sześcianami, np.
16 jest kwadratem liczby 4, bo 4² = 16,
8 jest sześcianem liczby 2, bo 2³ = 8.

Podnoszenie do potęgi całkowitej

Matematycy umówili się, że:
a⁰ = 1 - zerowa potęga każdej liczby jest jedynką, także 0⁰=1,
a^-1 = $\frac{1}{a}$ , minus pierwsza potęga każdej liczby jest jej odwrotnością,
dzięki temu potęgowanie ma "ładne" własności.

Podnoszenie do potęgi ułamkowej

Jest to inny zapis pierwiastkowania, np.
$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ ,
$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ .

W zapisie a^b = c nazywamy liczbę
a - podstawą potęgi,
b - wykładnikiem potęgi,
c - potęgą lub wynikiem potęgowania.

Własności potęgowania

a^p × a^q = a^p^+q, np. 8³ × 8² = (8×8×8) × (8×8) = 8×8×8×8×8 = 8⁵ = 8³⁺²

a^p : a^q = a^p^-q, np. 8⁵ : 8² = (8×8×8×8×8) : (8×8) = $\frac{8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8}{8\cdot 8}$ = 8³ = 8^5-2

(a×b)^p = a^p × b^p, np. (5×7)³ = (5×7) × (5×7) × (5×7) = 5×5×5 × 7×7×7 = 5³ × 7³

(a:b)^p = a^p : b^p, np. (7:5)³ = ${(\frac{7}{5})}^3$ = $\frac{7}{5}\cdot \frac{7}{5}\cdot \frac{7}{5}$ = $\frac{7 \cdot 7\cdot 7}{5\cdot 5\cdot 5}$ = $\frac{7^3}{5^3}$ = 7³:5³