Paradoksy

Zaczniemy od wyjaśnienia, co to jest sofizmat i czym będziemy zajmowali się w tym dziale. Otóż każdemu, kto choć trochę zajmował się matematyką, zdarzyło się na pewno natknąć na pytanie, na które nie potrafił odpowiedzieć, lub na fakt, którego nie potrafił logicznie wytłumaczyć. Takie sytuacje nazywamy aporiami. Słowo to oznacza po grecku trudność. Aporia to każde rozumowanie prowadzące do zaskakującej tezy, dopóki nie potrafimy rozstrzygnąć czy jest prawdziwe, czy nie. Aporie pojawiają się stale w matematyce i stanowią motor jej rozwoju.

Kiedy aporia zostaje rozstrzygnięta, staje się sofizmatem lub paradoksem, w zależności od tego, "w którą stronę" nastąpi to rozstrzygnięcie. Jeśli rozumowanie okazało się prawdziwe (choć jego wynik był zaskakujący i sprzeczny z intuicją), mamy do czynienia z paradoksem. Jeśli rozumowanie zawierało błąd, mamy do czynienia z sofizmatem. Oczywiście takie błędne rozumowanie może prowadzić zarówno do tezy prawdziwej jak i fałszywej.

Błędne rozumowania - sofizmaty - były od czasów starożytnych i są często do dziś stosowane w nauczaniu matematyki (z greckiego sophisma - wybieg, wykręt). Filozofowie w starożytnej Grecji wyznający nurt filozoficzny zwany sofizmem twierdzili, że nie ma prawd bezwzględnych, a wobec tego można udowodnić każde twierdzenie, opierając się na wieloznaczności pojęć, nieścisłości definicji i nie zawsze poprawnym stosowaniu reguł logiki. We współczesnej dydaktyce sofizmaty to rozumowania zachowujące wszelkie pozory prawdziwości, ale zawierające sprytnie ukryty błąd, który w efekcie sprowadza wywód do niedorzeczności lub wewnętrznej sprzeczności. Zadaniem ucznia jest znalezienie błędu w rozumowaniu, wytłumaczenie jego przyczyny i poprawienie.

Zatem sofizmat prowadzi na ogół do fałszywej tezy, wykorzystując rozumowanie, które choć pozornie wydaje się prawdziwe, w rzeczywistości zawiera błąd. Sofizmat często bywa mylony z paradoksem, choć terminy te są antonimami (czyli wyrazami o znaczeniu przeciwstawnym). Różnica polega na tym, że paradoks prowadzi do prawdziwej tezy, choć zaskakującej i sprzecznej z intuicją na tyle, że jesteśmy skłonni podejrzewać, że rozumowanie musi zawierać błąd. W tym dziale oprócz sofizmatów znajdziecie też dużo paradoksów. W niektóre paradoksalne stwierdzenia trudno jest od razu uwierzyć, ale są one prawdziwe, a rozumowania do nich prowadzące nie zawierają błędów.

Szczególnym rodzajem paradoksu jest antynomia. Nazwa ta pochodzi od greckiego słowa antinomos czyli przeciw prawu. Jest to rozumowanie, które prowadzi jednocześnie do otrzymania dwóch przeciwstawnych tez (prawdziwość zdania pociąga za sobą prawdziwość jego zaprzeczenia i na odwrót).