Wzory skróconego mnożenia

Data ostatniej modyfikacji:
2010-11-7

Wzory skróconego mnożenia są przydatne przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Często ułatwiają sprawne rachunki. Takich wzorów jest bardzo dużo. Poniżej podajemy kilka, z których korzysta się najczęściej.

 

Kwadrat sumy liczb

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    na przykład: 312 = (30+1)2 = 302+2×30+1 = 900+60+1 = 961
  • nie zachodzi równość: (a+b)2 = a2 + b2
    na przykład 25 = (3+2)2 $\red \neq$ 32 + 22 = 13
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (a + b)2 = (a + b) × (a + b) =
    mnożymy każdy wyraz przez każdy inny
    = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
  • uzasadnienie wzoru przez rysunek:

 

Kwadrat różnicy liczb

  • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
    na przykład: 292 = (30-1)2 = 302-2×30+1 = 900-60+1 = 841
  • nie zachodzi równość: (a-b)2 = a2 - b2
    na przykład 1 = (3-2)2 $\red \neq$ 32 - 22 = 5
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (a - b)2 = (a - b) × (a - b) = mnożymy każdy wyraz przez każdy inny
    =
    aa - ab - ba + bb = a2 - 2ab + b2

  • uzasadnienie wzoru przez rysunek:

Kwadrat sumy trzech liczb

  • (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
    na przykład: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2×100×10 + 2×100 + 2×10 =
    = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321
  • nie zachodzi równość: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2
    na przykład 36 = (3+2+1)2 $\red \neq$ 32 + 22 + 12 = 14
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (a + b + c)2 = (a + b + c) × (a + b + c) = mnożymy każdy wyraz przez każdy inny
    =
    aa + ab + ac + ba + bb + bc + ca + cb + cc = a2 + b2 c2 + 2ab + 2ac + 2bc
  • uzasadnienie wzoru przez rysunek:

 

Iloczyn sumy i różnicy liczb = Różnica kwadratów liczb

  • (a + b)×(a - b) = a2 - b
    na przykład: 101×99 = (100+1)×(100-1) = 1002 - 1 = 9999
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (a + b) × (a - b) = mnożymy każdy wyraz przez każdy inny
    =aa - ab + ba - bb = a2 b2
  • uzasadnienie wzoru przez rysunek:

 

 

Sześcian sumy liczb

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    na przykład: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3×1002 + 3×100 + 1 =
    = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301
  • nie zachodzi równość: (a+b)3 = a3 + b3
    na przykład 125 = (3+2)3 $\red\neq$ 33 + 23 = 35
  • uzasadnienie wzoru przez rachunek:
    (a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b) =
    mnożymy każdy wyraz przez każdy inny
    = (aa + ab + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb =
    = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • uzasadnienie wzoru przez rysunek:

 

Sześcian różnicy liczb

  • (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
    na przykład: 993 = (100-1)3 = 1003 - 3×1002 + 3×100 - 1 =
    = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299

 

n-ta potęga sumy

Według poniższego wzoru możemy obliczyć dowolną naturalną potęgę sumy dwóch liczb:

Należy tylko pamiętać jak obliczamy symbol Newtona

W ustaleniu współczynników przy iloczynach potęg składników sumy, której potęgę obliczamy może nam posłużyć trójkąt Pascala:

Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią, przy czym zewnętrzne liczby w każdej linii to jedynki.

  = k-ta liczba w n-tym wierszu trójkąta Pascala

 na przykład:

 

n-ta potęga różnicy

Wystarczy zauważyć, że (a - b)n = [a + (-b)]n i zastosować powyższy wzór dla sumy. Wyrazy rozwinięcia pozostaną takie same, jedynie przed co drugim składnikiem znak "+" zmieni się na "-".
na przykład:

= 104976

 

 

Suma sześcianów liczb

a3 + b3 = (a + b)×(a2 - ab + b2)

uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz przez każdy inny):

(a + b)×(a2 - ab + b2) = aa2 - aab + ab2 + ba2 - bab + bb2= a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 =
a3 + b3

 

Różnica sześcianów liczb

a3 - b3 = (a - b)×(a2 + ab + b2)

uzasadnienie wzoru przez rachunek (mnożymy każdy wyraz przez każdy inny):

(a - b)×(a2 + ab + b2) = aa2 + aab + ab2 - ba2 - bab - bb2 = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 =
a3 - b3

 

Różnica czwartych potęg liczb

a4 - b4 = (a - b)×(a3 + a2b + ab2 + b3) = (a + b)×(a3 - a2b + ab2 - b3)

 

Suma n-tych potęg liczb (dla n nieparzystych!!!)

an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2 - ... + bn-1)

Różnica n-tych potęg liczb (dla n parzystych!!!)

an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2 - ... + bn-1)

 

Różnica n-tych potęg liczb (dla wszystkich n naturalnych)

an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + ... + a2bn-3 + abn-2bn-1)

 

Powrót na górę strony