Zad. 1. W ciągu 5 lat studiów Jan musi zdać 31 egzaminów. W każdym kolejnym roku liczba egzaminów jest większa niż w roku poprzednim. Na V roku studiów liczba egzaminów jest 3 razy większa niż na I roku. Ile egzaminów Jan musi zdać na IV roku studiów?
Zad. 2. Na szachownicy o wymiarach 3×6 należy ustawić trzy pionki, po jednym w każdej kolumnie, ale tak, aby żadne dwa nie znalazły się w tym samym poziomym wierszu (jak na rysunku). Na ile sposobów można to zrobić?
Zad. 3. Ile najwięcej cięciw o długości równej długości promienia można wykreślić w kole, jeśli te cięciwy nie przecinają się wewnątrz koła? Odpowiedź krótko uzasadnij.
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Zuzanna Basińska SP 11 Inowrocław, Olga Bazelska SP 11 Inowrocław, Ewa Bogacz SP 76 Wrocław, Patryk Boruń SP 9 Wałbrzych, Artur Bumażnik SP 1 Piechowice, Emilia Cichowska SP 14 Lubin, Natalia Cubala SP Jedlnia-Letnisko, Paweł Czarny SP 36 Wrocław, Jakub Gospodarczyk SP Jedlnia Letnisko, Amelia Gugała SP Wrzosów, Paulina Hołodniuk SP 2 Wołów, Maja Jas SP 5 Strzelin, Kacper Kazik SP 4 Inowrocław, Miłosz Kiełbasa SP 2 Tomaszów Lubelski, Maja Kiraga SP Jedlnia-Letnisko, Jan Krupa SP2 Tomaszów Lubelski, Zuzanna Lipka SP Jedlnia–Letnisko, Sandra Łuczak SP 107 Wrocław, Filip Klich SP Ekola Wrocław, Klara Kogut SP 9 Gliwice, Szymon Kuźniar SP Ciechanów, Kaja Madej SP Józefowo nad Wisłą, Maya Małachowska SP 3 Głogów, Julia Marcinkowska SP 11 Inowrocław, Jullita Masłowska SP 3 Głogów, Paweł Michałowski SP 1 Białystok, Weronika Michałowska SP 1 Białystok, Maja Muszyńska SP Jedlnia-Letnisko, Agnieszka Płudowska SP 18 Lubin, Karol Szaniewski SP 16 Studzienice, Tymon Srokosz SP 52 Warszawa, Nadia Stefanowska SP 10 Legnica, Weronika Tracz SP Stare Bogaczowice, Franciszek Zakrawacz SP2 Wałbrzych, Dawid Zarębski SP Zachorzów, Oksana Zatwardnicka SP 28 Wałbrzych;
- 2 pkt. – Aleksandra Antonowicz SP 28 Wałbrzych, Jakub Dudek SP 11 Inowrocław, Łukasz Ganczarek SP 10 Wrocław, Martyna Gruszczyńska SP 19 Gliwice, Weronika Kiniorska SP 65 Wrocław, Bartosz Marczewski SP 11 Inowrocław, Jadwiga Simińska SP 11 Inowrocław, Karol Skowera SP 2 Wałbrzych, Maja Skuza SP 5 Kielce, Alicja Szwarczyńska SP Kowalowa, Filip Timofiejczuk SP 3 Tarnowskie Góry, Dominika Zadworna SP 4 Grodzisk Wlkp, Miłosz Zakrzewski SP Gostycyn;
- 1 pkt. – Zuzanna Dropia SP Świerże Górne, Hubert Klinik SP 9 Gliwice, Zofia Prygiel SP Jedlnia Letnisko.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech x oznacza liczbę egzaminów na I roku studiów oraz oraz 0<a1<a2<a3<3x i a1,a2,a3 N. Uwzględniając warunki zadania otrzymujemy x + (x + a1) + (x + a2) + (x + a3) + 3x = 31, skąd x = [31 – (a1+a2+a3)]:7. Ponieważ a1+a2+a3≥6 oraz 31 – (a1+a2+a3) jest podzielne przez 7, więc a1+a2+a3=10. Możliwe rozkłady egzaminów w ciągu pięciu lat to: 3, 4, 7, 8, 9 lub 3, 5, 6, 8, 9. W obu przypadkach na IV roku studiów pan Jan zdaje 8 egzaminów.
Zad. 2. W pierwszej kolumnie pionka można ustawić na 6 sposobów, w drugiej (przy ustalonym pionku w pierwszej kolumnie) na 5 sposobów, a w trzeciej na 4 sposoby (w trzeciej kolumnie nie możemy ustawić pionka na liniach zajętych przez pionka na pierwszej oraz pionka na drugiej kolumnie). Trzy pionki można zatem rozmieścić na 6 . 5 . 4 = 120 sposobów.
Szachownica
Czy w zad. 2 chodzi o układanie 3 pionków na pustej szachownicy, czy o dokładnie na tej, która jest narysowana w zadaniu (z trzema pionkami już ustawionymi)?
Odpowiedź
Na pustej, ale zaliczymy obie wersje. Treść zadania rzeczywiście była nieprecyzyjna.