Zad. 1. Pewna liczba naturalna przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Jaką resztę da przy dzieleniu przez 35?
Zad. 2. W pewnym roku w listopadzie było 5 śród i 5 czwartków. W jakim dniu tygodnia wypadł w tym samym roku Sylwester?
Zad. 3. Puchar Świata w siatkówce odbywał się systemem kołowym, co oznacza, że każda drużyna grała z kążdą inna dokładnie jeden mecz. W turnieju odbyło się 66 meczów. Ile drużyn w nim wystartowało?
W grudniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Aleksandra Antonowicz SP 28 Wałbrzych, Artur Bumażnik SP 1 Piechowice, Jan Krupa SP2 Tomaszów Lubelski, Zuzanna Basińska SP 11 Inowrocław, Olga Bazelska SP 11 Inowrocław, Patryk Boruń SP 9 Wałbrzych, Emilia Cichowska SP 14 Lubin, Paweł Czarny SP 36 Wrocław, Zuzanna Dropia SP Świerże Górne, Jakub Dudek SP 11 Inowrocław. Łukasz Ganczarek SP 10 Wrocław, Martyna Gruszczyńska SP 19 Gliwice, Amelia Gugała SP Wrzosów, Paulina Hołodniuk SP 2 Wołów, Maja Jas SP 5 Strzelin, Kacper Kazik SP 4 Inowrocław, Miłosz Kiełbasa SP 2 Tomaszów Lubelski, Maja Kiraga SP Jedlnia-Letnisko, Jan Krupa SP2 Tomaszów Lubelski, Zuzanna Lipka SP Jedlnia–Letnisko, Sandra Łuczak SP 107 Wrocław, Filip Klich SP Ekola Wrocław, Klara Kogut SP 9 Gliwice, Szymon Kuźniar SP Ciechanów, Paweł Lisztwan SP 3 Mikołów, Maya Małachowska SP 3 Głogów, Julia Marcinkowska SP 11 Inowrocław, Jullita Masłowska SP 3 Głogów, Bartosz Marczeski SP 11 Inowrocław, Paweł Michałowski PSP 1 Białystok, Weronika Michałowska PSP 1 Białystok, Olaf Pawka SP Józefów n. Wisłą, Jadwiga Simińska SP 11 Inowrocław, Karoli Skowera SP 2 Wałbrzych, Maja Skuza SP 5 Kielce, Nadia Stefanowska SP 10 Legnica, Karol Szaniewski SP 16 Studzienice, Alicja Szwarczyńska SP Kowalowa, Filip Timofiejczuk SP 3 Tarnowskie Góry, Weronika Tracz SP Stare Bogaczowice, Miłosz Zakrzewski SP Gostycyn, Oksana Zatwardnicka SP 28 Wałbrzych;
- 2 pkt. – Natalia Cubala SP Jedlnia-Letnisko, Weronika Kiniorska SP 65 Wrocław, Maja Muszyńska SP Jedlnia-Letnisko, Agnieszka Płudowska SP18 Lublin, Zofia Prygiel SP Jedlnia Letnisko, Tymon Srokosz SP 52 Warszawa;
- 1 pkt. – Dominika Zadworna SP 4 Grodzisk Wlkp.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech n to pewna liczba naturalna. Z treści zadania wynika, że n = 7x+2, n = 5y+3 i n = 35z+r oraz x, y ∈ N i r ∈ {1, 2, 3, ..., 34}. Z równania 35z+r = 7x+2 otrzymujemy r = 7(x–5z)+2, więc r daje resztę 2 z dzielenia przez 7, a stąd r ∈ {2, 9, 16, 23, 30}. Z równania 35z+r = 5y+3 otrzymujemy r = 5(y–7z)+3, więc r daje resztę 3 z dzielenia przez 5. Zatem r=23.
Zad. 2. W listopadzie było 5 śród i 5 czwartków, skąd wynika, że 2 XI to czwartek. Co siedem dni wypada ten sam dzień tygodnia, zatem 9, 16, 23 i 30 listopada to też czwartki, a 1, 8, 15, 22, 29 grudnia to piątki, a stąd 31 XII wypadł w niedzielę.
Zad. 3. Niech n oznacza liczbę drużyn. Każda z tych drużyn rozegra n–1 meczów. Wszystkich meczów jest zatem 1/2·n(n–1) = 66, a stąd n(n–1) = 132. Liczba naturalna spełniająca tę równość to 12.
