Zad. 1. Janek wydał 1/3 swoich oszczędności na prezenty walentynkowe. Gdyby wydał o 20% więcej, to zostałoby mu o 15 zł mniej niż w rzeczywistości. Ile oszczędności miał Janek?
Zad. 2. Dwa zegary rozpoczęły i skończyły bicie jednocześnie. Pierwszy bije co 2 sekundy, a drugi - co 3 sekundy. Razem naliczono 13 uderzeń, przy czym jednoczesne uderzenia liczono jako jedno. Zegary wskazują pełne, ale różne godziny. Który wskazuje którą?
Zad. 3. Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien ostrosłup. Który z tych wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
W lutym punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Zuzanna Basińska SP 11 Inowrocław, Ewa Bogacz SP 76 Wrocław, Patryk Boruń SP 9 Wałbrzych, Artur Bumażnik SP 1 Piechowice, Emilia Cichowska SP 14 Lubin, Paweł Czarny SP 36 Wrocław, Łukasz Ganczarek SP 10 Wrocław, Martyna Gruszczyńska SP 19 Gliwice, Amelia Gugała SP Wrzosów, Paulina Hołodniuk SP 2 Wołów, Miłosz Kiełbasa SP 2 Tomaszów Lubelski, Zuzanna Lipka SP Jedlnia–Letnisko, Sandra Łuczak SP 107 Wrocław, Weronika Kiniorska SP 65 Wrocław, Filip Klich SP Ekola Wrocław, Klara Kogut SP 9 Gliwice, Szymon Kuźniar SP Ciechanów, Paweł Michałowski SP 1 Białystok, Weronika Michałowska SP 1 Białystok, Maja Muszyńska SP Jedlnia-Letnisko, Jadwiga Simińska SP 11 Inowrocław, Karol Skowera SP 2 Wałbrzych, Tymon Srokosz SP 52 Warszawa, Nadia Stefanowska SP 10 Legnica, Karol Szaniewski SP 16 Studzienice, Alicja Szwarczyńska SP Kowalowa, Weronika Tracz SP Stare Bogaczowice, Franciszek Zakrawacz SP2 Wałbrzych;
- 2,5 pkt. – Agnieszka Płudowska SP 18 Wrocław Lublin;
- 2 pkt. – Aleksandra Antonowicz SP 28 Wałbrzych, Olga Bazelska SP 11 Inowrocław, Maja Jas SP 5 Strzelin, Kacper Kazik SP 4 Inowrocław, Kaja Madej SP Józefowo nad Wisłą, Maya Małachowska SP 3 Głogów, Julia Marcinkowska SP 11 Inowrocław, Maja Kiraga SP Jedlnia-Letnisko, Maja Skuza SP 5 Kielce, Filip Timofiejczuk SP 3 Tarnowskie Góry, Miłosz Zakrzewski SP Gostycyn, Oksana Zatwardnicka SP 28 Wałbrzych;
- 1.5 pkt. – Zuzanna Dropia SP Świerże Górne;
- 1 pkt. – Jakub Dudek SP 11 Inowrocław, Maya Małachowska SP 3 Głogów, Szymon Sternal SP 9 Gliwice.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy przez x oszczędności Janka. Z treści zadania wynika, że 0,2·1/3x = 15, skąd x = 225 zł.
Zad. 2. Niech I uderzenie rozlega się w chwili 0. Wówczas I zegar bile w momentach (liczonych w sekundach od chwili 0): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ..., a II zegar w momentach: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... Ich wspólne uderzenia (zaznaczone powyżej pogrubioną czcionką) wypadają co 6 sekund (6 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 3). Zatem pierwszy zegar bił 10 razy, a drugi 7, jednocześnie biły 4 razy, czyli słyszano 10+7−4 = 13 uderzeń. Oznacza to, że pierwszy zegar wskazywał godzinę 10, a drugi 7.
Zad. 3. Wiemy, że ostrosłup n-kątny (tzn. mający w podstawie wielokąt o n wierzchołkach) ma n+1 wierzchołków i n+1 ścian (dlaczego?), natomiast graniastosłup n-kątny ma 2n wierzchołków i n+2 ściany (dlaczego?). Oznaczmy przez x liczbę wierzchołków w podstawie ostrosłupa. Wtedy liczba jego wszystkich wierzchołków wynosi x+1, a liczba wszystkich wierzchołków danego graniastosłupa wynosi 2(x+1). Stąd wynika, że graniastosłup ma w podstawie x+1 wierzchołków, czyli ma (x+1)+2 ściany. Każdy graniastosłup, który ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien ostrosłup, ma o 2 ściany więcej niż ten ostrosłup.
