Zad. 1. Każdą z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 mnożymy przez każdą z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ile wynosi suma wszystkich otrzymanych w ten sposób iloczynów?
Zad. 2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym kąt ADC ma miarę 150°, a kąt DAB – 40°. Okrąg o środku D przechodzący przez punkt A przechodzi także przez punkty B i C. Jaką miarę ma kąt BCD?
Zad. 3. Pewna tajemnicza dodatnia wielkość najpierw dziesięciokrotnie zmalała o 10%, a następnie dwudziestokrotnie wzrosła o 11%, by na koniec znowu dziesięć razy zmaleć o 10%. Czy to możliwe, żeby na końcu była większa niż na początku?
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Justyna Kładoczna SP 118 Wrocław, Michał Węgrzyn SP 9 Wrocław, Michał Dźwigaj SP 1 Przemków, Urszula Wąsiewicz SP Kostowiec, Antoni Adamus SP 4 Warszawa, Michał Plata SP 2 Syców, Wojciech Domin SP Pisarzowice, Miłosz Zakrzewski SP Gostycyn i Adam Chowanek SP Mieroszów;
- 2 pkt. – Paulina Hołodniuk SP 2 Wołów, Wiktoria Jaguszczak SP Grębocice, Cezary Rębiś ZSO Jedlnia-Letnisko i Patryk Buliński Dwujęzyczna SP 1 Warszawa;
- 1 pkt. – Miłosz Siekacz SP 3 Choszczno.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Podaną sumę iloczynów możemy zapisać w postaci
(1+2+3+…+10) + 2.(1+…+10) +3.(1+…+10) + …+ 10.(1+…+10) = 55.55 = 3025.
Zad. 2. Niech x jest miarą kąta BCD. Ponieważ odcinki DA, DB i DC są promieniami okręgu, trójkąty ADB i BDC są równoramienne, a kąty przy ich podstawach – jednakowe. Suma kątów wewnętrznych czworokąta ABCD wynosi 360 = 150°+40°+40°+2x. Stąd x= 65°.
Zad. 3. Niech początkowa wartość wynosi x. Po zmaleniu o 10% wielkość wynosi 0,9x, a po 10 zmaleniach 0,9·...·0,9x = 0,910x. Po wzroście o 11% wielkość wynosi 1,11 . 0,910x. Po 20 takich wzrostach wynosi
1,11 . 1,11 · ... · 1,11 · 0,910 x = 1,1120 · 0,910 x.
Na koniec wielkość wynosi 0,910 . 1,1120 . 0,910 x,
co z przemienności mnożenia daje (0,9 . 1,11)20 x = 0,99920 x,
a to jest pewien ułamek x, czyli wielkość mniejsza od x.
