Zad. 1. Ekspedientka przygotowała mieszankę cukierków o następującym składzie: 30% - toffi, 40% – michałki, 8 kilogramów – raczki, reszta – krówki. Cena mieszanki wyniosła 17 zł. Ile kilogramów każdego rodzaju cukierków znajduje się w tej mieszance?
Cennik
- krówki – 16 zł
- marmoladki pektynowe – 15 zł
- michałki – 22 zł
- raczki – 12 zł
- toffi – 14 zł
Zad. 2. Droga z miasteczka Bajkowice do schroniska Bartek prowadzi przez wzgórza. Turysta idzie pod górę z prędkością 2,5 km/h, a z góry - 5 km/h. Drogę ze schroniska do miasteczka pokonuje w 3,5 godziny, a z miasteczka do schroniska - w 4 godziny. Jak daleko jest z Bajkowic do Bartka?
Zad. 3. Na wszystkich ścianach graniastosłupa zaznaczono wszystkie przekątne. Łącznie było ich 56. Co jest podstawą tego graniastosłupa?
W maju punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Justyna Kładoczna SP 118 Wrocław, Antoni Adamus SP 4 Warszawa, Michał Plata SP 2 Syców, Wiktoria Jaguszczak SP Grębocice, Wojciech Domin SP Pisarzowice i Adam Chowanek SP Mieroszów;
- 2,5 pkt. – Michał Dźwigaj SP 1 Przemków;
- 2 pkt. – Michał Węgrzyn SP 9 Wrocław i Cezary Rębiś ZSO Jedlnia-Letnisko;
- 1 pkt. – Miłosz Siekacz SP 3 Choszczno.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy: x – liczba kilogramów mieszanki, y – liczba kilogramów krówek. Raczki i krówki stanowiły 30% mieszanki, stąd otrzymujemy pierwsze równanie: 8 + y = 0,3 x, czyli y = 0,3x - 8. Cena mieszanki wynosiła 17 zł za kilogram, stąd drugie równanie: (0,3x . 14 + 0,4x . 22 + 8 . 12 + y . 16) : x = 17. Po przekształceniu otrzymujemy x = 24 + 4y, do którego w miejsce y podstawiamy wyrażenie 0,3x – 8, skąd otrzymujemy x = 40. Obliczamy liczbę kilogramów toffi, michałków i krówek: 0,3 . 40 = 12, 0,4 . 40 = 16 i 0,3 . 40 – 8 = 4. W mieszance znajduje się: 12 kg toffi, 16 kg michałków, 8 kg raczków i 4 kg krówek.
Zad. 2. Oznaczmy: s – długość całej trasy ze schroniska do miasteczka, x – długość drogi pod górę, y – długość drogi z góry. Czas pokonania drogi ze schroniska do miasteczka wynosi: x/2,5 + y/5 = 3,5. W drodze powrotnej część drogi, która była pod górę jest teraz z góry a z góry pod górę, więc: x/5 + y/2,5 = 4. Wyznaczając z jednego równania x i podstawiając do drugiego obliczamy y = 7,5. Następnie wykorzystując jedno z wcześniejszych równań obliczamy x = 5. Zatem s = 12,5. Odległość z Bajkowic do Bartka wynosi 12,5 km.
Zad. 3. Graniastosłup ma dwie podstawy i tyle ścian bocznych ile boków w podstawie. Oznaczmy przez m liczbę boków w podstawie. Podstawa ma [(m – 3) . m] : 2 przekątnych a jedna ściana 2 przekątne. Liczba przekątnych wszystkich ścian bocznych wynosi zatem 2m, a liczba przekątnych obu podstaw 2 . [(m – 3) . m] : 2 = (m – 3) . m. Mamy zatem równanie (m – 3) . m + 2m = 56, po przekształceniu którego otrzymujemy (m – 1) . m = 56. Jest to iloczyn kolejnych liczb naturalnych, zatem m = 8. Podstawą graniastosłupa jest ośmiokąt.
