Zad. 1. Reklama na zakładzie szewskim pana Jana głosi: W dni powszednie o 30% taniej. O ile procent drożej niż w dni powszednie jest w robocze soboty i niedziele?
Zad. 2. Rozwiąż równanie w parach liczb naturalnych x4 + 843 = x2 . y2 + 2019
Zad. 3. Na płaszczyźnie wybieramy 6 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Każde dwa łączymy odcinkiem niebieskim lub czerwonym. Czy zawsze znajdzie się jednokolorowy trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach? Odpowiedź uzasadnij.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Julia Musiał II LO Tczew, Alex Kalinowski LO Góra, Szymon Misiewicz CKZiU Strzelin, Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Mateusz Łakomiec XXVII LO Warszawa i Piotr Zug I LO Olesno;
- 2 pkt. – Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Łukasz Goliszewski LO Góra, Marcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie, Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszawa, Jakub Wojciechowski XXVII LO Warszawa, Kamil Dutkiewicz XXVII LO Warszawa i Maria Piątkowska XXVII LO Warszawa;
- 1 pkt – Mikołaj Dyblik LO VII Wrocław, Kasper Radom II LO Lubin.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy przez x cenę w pracujące soboty i niedziele, wówczas cena w dni powszednie wynosi 0,7x. Zatem cena w robocze soboty i niedziele jest wyższa o [tex] \frac{x-0,7x}{0,7x} \cdot100\% = 42 \frac{6}{7}\% [/tex].
Zad. 2. Równanie po przekształceniu x4 – x2 . y2 = 1176 i rozłożeniu obu stron na czynniki ma postać x2 (x – y) (x + y) = 23 . 3 . 72. Dzielniki prawej strony, które są kwadratami, to 1, 4, 49 i 196. Liczba x może być zatem równa 1, 2, 7 lub 14. Podstawiając kolejno do równania, otrzymujemy x=7 (w pozostałych przypadkach otrzymujemy równanie sprzeczne lub y nie jest liczbą naturalną). Jedyna para liczb naturalnych spełniających równanie to (7, 5).
Zad. 3. Weźmy dowolny z 6 punktów. Wychodzi z niego 5 krawędzi w dwóch kolorach, a więc co najmniej 3 z nich są tego samego koloru, np. niebieskie. Wtedy albo odcinki łączące końce tych krawędzi są czerwone i mamy trójkąt czerwony, albo jeden z nich jest niebieski i mamy trójkąt niebieski.
