Zad. 1. Mamy liczbę trzycyfrową n. Tworzymy nową liczbę trzycyfrową m, zastępując każdą cyfrę liczby n cyfrą dopełniającą ją do dziewiątki. Następnie piszemy te liczby jedna za drugą, zaczynając od m. Powstaje liczba sześciocyfrowa. Wykaż, że dzieli się ona przez 37.
Zad. 2. Na szachownicy 8×8 postawiono 6 pionków na białych polach i 7 pionków na polach czarnych. Ruch gracza polega na jednoczesnym przestawieniu czterech dowolnych pionków, każdego na dowolne sąsiednie pole poziomo lub pionowo. Czy można tak wykonywać ruchy, by po pewnej ich liczbie na białych polach stało 7 pionków, a na czarnych 6? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że trzy różne losowo wybrane wierzchołki sześcianu są wierzchołkami trójkąta prostokątnego?
W lutym punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Julia Musiał II LO Tczew, Alex Kalinowski LO Góra, Jakub Niedźwiedź XXVII LO Warszawa, Szymon Misiewicz CKZiU Strzelin, Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Mateusz Łakomiec XXVII LO Warszawa i Piotr Zug I LO Olesno;
- 2 pkt. – Michał Tokarski II LO Oleśnica, Marcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie, Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszawa, Piotr Jagiełło XXVII LO Warszawa, Jakub Dobrzański I LO Lubin, Kasper Radom II LO Lubin, Jakub Wojciechowski XXVII LO Warszawa, Kamil Dutkiewicz XXVII LO Warszawa.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech n = a.102 + b.10 + c. Wtedy rozważana liczba wynosi (a.102 + b.10 + c).103 + (9–a).102 + (9–b).10 + 9–c = a.102 . (103–1) + b.10.(103–1) + c.(103–1) + 999 = 999.(100a+10b+c+1) = 37.27.(100a+10b+1). Zatem liczba ta jest podzielna przez 37.
Zad. 2. Każdy z czterech pionków przestawionych w jednym posunięciu zmienia kolor pola. Załóżmy, że w pewnym momencie mamy b i c pionków odpowiednio na polach białych i czarnych i wykonujemy ruch, w którym przestawiamy x białych i 4–x czarnych pionków, gdzie x = 0, 1, 2, 3, 4. Wtedy na polach białych znajdzie się b–x + 4–x = b+4–2x pionków, a na polach czarnych c – (4–x) + x = c–4+2x pionków. Wynika stąd, że przy każdym ruchu zarówno liczba pionków na polach białych jak i czarnych zmienia się o liczbę parzystą, nigdy więc nie dojdziemy do sytuacji, w której jest 7 pionków na polach białych i 6 pionków na polach czarnych.
Zad. 3. Trzy wierzchołki sześcianu można wybrać na[tex]{{8}\choose{3}} = 56[/tex] sposobów. Trójkąty prostokątne i równoramienne są 4 na każdej ze ścian, łącznie 24. Trójkąty prostokątne nierównoramienne zawierające krawędź i przekątną sześcianu są 2 przy każdej krawędzi sześcianu, a więc 2 . 12 = 24. Szukane prawdopodobieństwo wynosi [tex] \frac{2 \cdot24}{56} =\frac{6}{7}[/tex].
