Zad.1. Spośród 30 uczniów pewnej klasy 17 lubi chodzić do szkoły, 22 - słuchać muzyki, a 25 - jeździć na rowerze. Wiadomo, że w tej klasie każdy, kto lubi chodzić do szkoły lub słuchać muzyki, lubi też jeździć na rowerze. Ilu najmniej może być takich uczniów, którzy lubią wszystko?
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby całkowite x takie, że {x}, [x] i x tworzą ciąg arytmetyczny. Symbol [x] oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą x, a {x} = x – [x].
Zad. 3. W trapezie ABCD (AB||CD) przekątne przecinają się w punkcie O i są nachylone do podstaw pod kątem 60°. Wykaż, że środki odcinków OA, BC i OD są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Piotr Jagiełło XXVII LO Warszawa, Grzegorz Zbrzeżny XXVII LO Warszawa Laura Stefanowska Katolickie LO Legnica, Julia Musiał II LO Tczew, Alex Kalinowski LO Góra, Szymon Misiewicz CKZiU Strzelin, Łukasz Goliszewski LO Góra, Mateusz Łakomiec XXVII LO Warszawa, Marcin Wiśniewski LO Ząbkowice Śląskie, Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa i Piotr Zug I LO Olesno;
- 2 pkt. – Kasper Radom II LO Lubin, Jakub Niedźwiedź XXVII LO Warszawa, Wiktoria Malinowska XXVII LO Warszawa.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Wśród 25 uczniów lubiących jeździć na rowerze są wszyscy, którzy lubią chodzić do szkoły, i wszyscy, którzy lubią słuchać muzyki. Zatem wśród nich jest 25–17 = 8 uczniów nie lubiących chodzić do szkoły i 25–22 = 3 uczniów nie lubiących słuchać muzyki. W takim razie wśród uczniów lubiących jeździć na rowerze jest co najmniej 25–8–3 = 14 takich, którzy lubią wszystko.
Zad. 2. Oznaczmy [x] = m. Wtedy m ≤ x < m + 1. Zgodnie z warunkami zadania [x] = {x}+x/2, czyli m = (x-m)+x/2, skąd x = 3/2m. Po podstawieniu do nierówności otrzymujemy m ≤ 3/2m < m+1, skąd 0 ≤ m < 2. Ponieważ m jest liczbą całkowitą, więc m = 0 lub m = 1. Wobec tego x = 0 lub x = 3/2 i odpowiednio {x} = 0 i [x]= 0 lub {x} = ½ i [x] = 1. Trójki tworzące ciąg arytmetyczny to (0, 0, 0) i (1/2, 1, 3/2). Drugą z nich należy odrzucić, gdyż z warunków zadania x jest całkowite.
Zad. 3. Trapez spełniający warunki zadania jest równoramienny (dlaczego?). Niech R, S, T będą środkami odcinków odpowiednio OA, BC, OD i niech |AD|=|BC|=c. Odcinek RT łączy środki boków trójkąta AOD, więc |RT| = c/2. Trójkąt BCT jest prostokątny (dlaczego?), więc punkt S (jako środek przeciwprostokątnej) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Stąd |TS| = |CS| = |BS| = c/2. Podobnie uzasadniamy, że |SR| = c/2. Zatem trójkąt RST jest rzeczywiście równoboczny.
