Zadanie 1. Niech M będzie punktem wewnątrz trójkąta ABC. Wykaż, że jeśli proste AM, BM, CM przechodzą odpowiednio przez środki okręgów opisanych na trójkątach BMC, AMC i ABM, to M jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 2. W trójkącie prostokątnym dane są przyprostokątne a i b. Oblicz odległość wierzchołka kąta prostego od okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 3. Na boku kwadratu jako na przeciwprostokątnej zbudowano (na zewnątrz kwadratu) trójkąt prostokątny. Wykaż, że odcinek łączący środek kwadratu z wierzchołkiem kąta prostego w trójkącie zawiera się w dwusiecznej tego kąta prostego.
W tym miesiącu maksymalną liczbę punktów (czyli 30) zdobyli: Jacek Bagiński (nauczyciel, I LO Kraków), Włodzimierz Bąk (nauczyciel, I LO Opole), Maciej Cebula (uczeń, I LO Olesno), Anna Gudełajtis (uczennica, II LO Opole), Joanna Jasińska (uczennica, XIV LO Warszawa), Krzysztof Sobków (nauczyciel, II LO Opole), Arkadiusz Wróbel (student, Brwinów) i Tadeusz Porzucek (emeryt, Gostyń).
Gratulujemy! Zachęcamy do rozwiązywania kolejnych zadań w Lidze i obiecujemy, że będą coraz trudniejsze.
Zadanie 1
Zauważmy, że ΔO2MC ≈ ΔO3BM. Stąd
∡MAB = 1/2 ∡MO3B = 1/2 (180°-2φ) = 1/2 ∡MO2C = ∡CAM.
Zatem AM jest dwusieczną kąta CAB.
Rozumowanie dla prostych BM i CM oraz kątów ABC i BCA przeprowadza się analogicznie.
Zadanie 2
Zauważmy, że d = r√2 - r = r(√2-1), a PΔ = 1/2 ab = pr, gdzie p jest połową obwodu trójkąta, czyli p =1/2 [a+b +√(a2+b2)].
Zatem
[tex]d=\frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a+b+\sqrt{a^2+b^2})}(\sqrt{2}-1) = \frac{\sqrt{2}-1}{2}(a+b-\sqrt{a^2+b^2})[/tex].
Zadanie 3
Zauważmy, że na czworokącie DOCX można opisać okrąg, bo ∡DOC + ∡DXC = 180°. Stąd ∡CXO = ∡CDO = 45°.
Zad. 2
Mam pytanie do zadania 2. Czy odległość wierzchołka przy kącie prostym od okręgu to odległość tego punktu od jakiegoś punktu na okręgu czy odległość od środka okręgu?
Odległość punktu od figury
Odległość punktu od figury jest definiowana w matematyce jako kres dolny (który jest równy minimum, jeśli takie istnieje) odległości tego punktu od wszystkich punktów figury.