|
Do rysunków 3D w niebieskich ramkach użyto apletu www.javaview.de/ Można w nich manipulować myszą. |
Przed przeczytaniem tego artykułu zajrzyj do tekstu Wielościany z kreskowaną podstawą.
Wyobraź sobie, że walec W
jest zbudowany z prostokątów:
- kreskujemy podstawę,
- nad kreskami ustawiamy prostokąty jednakowej wysokości, prostopadle do podstawy.
(Kresek jest nieskończenie wiele;
na rysunku widać tylko kilka z nich.)
Można pokreskować podstawę.
Ciekawsze bryły dostaniemy, gdy w miejsce prostokątów będziemy wstawiać inne figury płaskie o wymiarach zależnych od długości kresek. Zobacz.
Każda z powyższych brył mieści się w walcu o promieniu podstawy R i wysokości 2R,
więc ma objętość nie większą niż 2
R3.
Jakie mają objętości?
Pokażemy jak można je wyznaczyć na podstawie poniższego twierdzenia:
(*) Reguła Cavalieriego.
Niech dane będą dwie bryły W1 i W2 i ustalona płaszczyzna
U.
Jeśli dla każdej płaszczyzny Z równoległej do U, przekroje:
Z 
W1
i Z W2 mają jednakowe pola,
to objętości brył W1, W2 są jednakowe.
Na poniższych dwóch rysunkach widać jak można zastosować powyższe twierdzenie.
Podpowiemy kilka szczegółów dla bryły W = W1 zbudowanej
z trójkątów równobocznych ustawionych nad kreskami podstawy.
Na prawym rysunku bryła W2 powstała
z prostopadłościanu R × 2R ×
R
przez usunięcie dwóch ostrosłupów o podstawach prostokątnych R ×
R
i wysokościach R.
Sprawdź, że zaznaczone niebieskie przekroje tych brył mają jednakowe pola.
Wskazówka. Na rysunkach jest: KL || AB, OM = MN, KM = ML. Wyznacz pola w zależności od wartości x = OM = . R.
Zadanie. Wyznacz objętości oglądanych brył.
Uwaga. W ostatnim przypadku, tzn. gdy W1 jest zbudowana z półkoli, uzyskujemy pewien sposób uzasadnienia wzoru na objętość kuli. Różni się on od pomysłu Archimedesa, ale w zasadzie idea jest taka sama.
Na 'deser' oglądnij kolekcję podobnie zbudowanych brył.
Ich objętości można wyznaczyć metodami matematyki wyższej
(trudno tu wprost użyć zasadę Cavalieriego).
Problem z wyprowadzeniem wzoru
Jestem zainteresowana wyprowadzeniem wzoru na objętość bryły, której podstawą jest koło pokreskowane przez cięciwy wychodzące z jednego punktu na okręgu. Według powyższego artykułu trudno tu wprost użyć zasady Cavalierego i sugerowane jest użycie wyższej matematyki - czy jest to jednak niemożliwe? Uprzejmie proszę o pomoc w postaci wyprowadzenia wzoru na objętość ww bryły lub wskazówki, jak wyprowadzić taki wzór.
Wyprowadzenie
Oto krótkie (dla studenta po wykładzie analizy matematycznej) rozwiązanie dwóch podpunktów - najłatwiejszego i chyba najtrudniejszego.