Wartość bezwzględna

Data ostatniej modyfikacji:
2010-06-9

Oznaczenie

Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy symbolem |a|.
W kalkulatorach i komputerach stosuje się oznaczenie abs (a), co jest skrótem od angielskiej nazwy absolute value, oznaczającym właśnie wartość bezwzględną.
O tym, dlaczego w kalkulatorach i komputerach nie można stosować zapisu z kreskami, przeczytasz w tekście Kłopoty z wartością bezwzględną.

 

Co to jest?

O wartości bezwzględnej można myśleć jako o pewnymdziałaniu na liczbach. Jest ono jednak nietypowe, bo wykonywane na jednej liczbie, a nie na dwóch jak np. dodawanie. Działanie to polega na "zapominaniu" znaku liczby.

przykłady

|5| = 5          |-5| = 5
|2,5| = 2,5    |-2,5|=2,5

 

Ogólnie mówiąc:

 

 

 

Interpretacja geometryczna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej.
Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb, to ich odległość na osi liczbowej.

 

Własności

  • wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujemna (czyli dodania lub równa zero), tzn.
    |a|≥ 0
  • wartość bezwzględna jest zerem tylko dla zera, tzn.
    |a|=0 ≡ a=0
  • wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, np. |7|=|-7|=7, a ogólnie
    |a|=|-a|  oraz  |a - b| = |b - a|
  • każda liczba jest nie większa od swojej wartości bezwzględnej i nie mniejsza od liczby przeciwnej do swojej wartości bezwzględnej, tzn.
    -|a| ≤ a ≤ |a|
  • wartość bezwzględna iloczynu / ilorazu dwóch liczb jest równa iloczynowi / ilorazowi ich wartości bezwzględnych, tzn.
    |a · b|=|a| · |b|  oraz   (dla b≠0)
    czyli wartość bezwzględną możemy rozdzielić na oba czynniki w mnożeniu oraz na licznik i mianownik w ułamku
  • wartość bezwzględna sumy / różnicy dwóch liczb nie jest równa sumie / różnicy ich wartości bezwzględnych, tzn.
    |a + b| ≠ |a| + |b|  oraz  |a - b| ≠ |a| - |b|
    czyli wartości bezwzględnej nie możemy rozdzielić na składniki w dodawaniu ani na odjemną i odjemnik w odejmowaniu
    przykłady
    3 = |5 + (-2)| |5| + |-2| = 7
    7 = |5 - (-2)| |5| - |-2| = 3
  • równość |a + b| = |a| + |b| zachodzi tylko wtedy, gdy liczby a i btego samego znaku
    przykłady
    |5 + 3| = |5| + |3|
    |(-5) + (-3)| = |(-5)| + |(-3)|
  • zawsze zachodzą nierówności |a + b| ≥ |a| + |b|  oraz  |a - b| ≤ |a| + |b|.
    przykłady
    8 = |8| = |5 + 3| ≥ |5| + |3| = 5 + 3 = 8, czyli 8 ≥ 8
    8 = |-8| = |(-5) + (-3)| ≥ |(-5)| + |(-3)| = 5 + 3 = 8, czyli -8 ≥ 8
    8 = |8| = |11 - 3| ≤ |11| + |3| = 11 + 3 = 14, czyli 8 ≤ 14
    8 = |-8| = |(-5) - 3| ≤ |(-5)| + |3| = 5 + 3 = 8, czyli 8 ≤ 8

 

Proste równania z wartością bezwzględną

1. |x| = a

  • dla a>0   rozwiązaniem równania jest a lub -a
  • dla a=0   rozwiązaniem równania jest liczba 0
  • dla a<0   rozwiązaniem równania jest zbiór pusty

przykłady

  • |x| = 17             rozwiązaniem jest x = 17 lub x = -17
  • |x| = -17            rozwiązaniem jest zbiór pusty
  • |x| = 0               rozwiązaniem jest liczba 0

 

Proste nierówności z wartością bezwzględną

1. |x| > a

  • dla a ≥ 0   rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -a) (a, ∞)
  • dla a < 0   rozwiązaniem jest zbiór R

 

2. |x| ≥ a

  • dla a > 0   rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -a] [a, ∞)
  • dla a ≤ 0   rozwiązaniem jest zbiór R

 

3. |x| < a

  • dla a > 0   rozwiązaniem jest przedział (-a, a)
  • dla a ≤ 0   rozwiązaniem jest zbiór pusty

 

4. |x| ≤ a

  • dla a > 0   rozwiązaniem jest przedział [-a, a]
  • dla a = 0   rozwiązaniem jest liczba 0
  • dla a < 0   rozwiązaniem jest zbiór pusty

 

przykłady

  • |x| ≤ 17           rozwiązaniem jest przedział [-17, 17]
  • |x| ≥ 17           rozwiązaniem jest zbiór (-∞, -17] \cup[17, ∞)
  • |x| ≤ -17          rozwiązaniem jest zbiór pusty
  • |x| ≥ - 17         rozwiązaniem jest zbiór R
  • |x| ≤ 0             rozwiązaniem jest liczba 0

 

-8 ≥ 8

Mamy: 8 = |-8| = |(-5) + (-3)| ≥ |(-5)| + |(-3)| = 5 + 3 = 8, czyli -8 ≥ 8. Od kiedy -8 jest większe lub równe 8?

Nie ściemniaj!

Nie ściemniaj! Pokazałeś przecież, że 8≥8, a to jest prawdą od zawsze.

Powrót na górę strony