Kombinacje, czyli wybieranie całej grupy

Data ostatniej modyfikacji:
2010-07-2

Kombinacją nazywamy wybór całej grupy k elementów spośród n elementów, jakie mamy do dyspozycji. Nie jest istotna kolejność elementów, jakie wybraliśmy, i żaden nie może być wybrany dwukrotnie. Tym właśnie kombinacja różni się od wariacji.

Liczbę takich wyborów zapisujemy tzw. symbolem Newtona ${{n}\choose{k}}$ (czytaj: n po k) lub w notacji kalkulatorowej nCk, co pochodzi od angielskiego "n choose k" (czytaj: n czuz k), czyli "z n wybierz k".

Aby obliczyć taką wartość stosujemy wzór: ${{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Wartość ${{n}\choose{k}}$ możemy też odnaleźć w trójkącie Pascala, w n-tym rzędzie na k-tym miejscu (przy czym rzędy i wyrazy w każdym rzędzie numerujemy, zaczynając od 0 nie od 1).

 

Przykłady

1) Klasa liczy 30 osób. Na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród uczniów tej klasy.

Rozwiązanie. Ważne są dwie rzeczy: 1) nie jest istotna kolejność, w jakiej dokonujemy wyboru uczniów, 2) uczeń może zostać wybrany do delegacji tylko raz. Wobec tego wystarczy zastosować wzór na liczbę możliwych wyborów 3 elementów spośród 30

${{30}\choose{3}}=\frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{27! \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}{3! 27!}=\frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{3!}=4060$.

Uwaga. Ten sam wynik można uzyskać, stosując regułę iloczynu. Mianowicie pierwszą osobę można wybrać na 30 sposobów, drugą na 29, a trzecią na 28 sposobów. Ponieważ kolejność wyborów nie ma znaczenia, iloczyn 30×29×28 należy podzielić przez 3! (bo tyle jest możliwych przestawień w obrębie każdej wybranej już trójki uczniów). Rzeczywiście otrzymamy $\frac{30\cdot 29\cdot 28}{6}$= 4060.

2) Na ile sposobów można 20 uczniów podzielić na dwie równoliczne drużyny?

Rozwiązanie. W każdej drużynie ma być 10 osób, przy czym po ustaleniu składu I drużyny, druga powstaje automatycznie. Wystarczy zatem wybrać 10 osób do I drużyny. Oczywiście kolejność wybierania członków drużyny nie ma znaczenia, więc drużynę 10-osobową można utworzyć na

${{20}\choose{10}}=\frac{20!}{10!10!} = \frac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{10!}$= 184 756 sposobów.

3) Na ile sposobów można podzielić 15 uczniów na 3 drużyny, tak aby w I drużynie było siedmioro uczniów, w II pięcioro, a w III troje?

Rozwiązanie. Po sformowaniu I i II drużyny automatycznie z pozostałych osób utworzymy drużynę III (bo 7+5+3=15). Aby skompletować drużynę I wybieramy 7 spośród 15 uczniów. Można to zrobić na ${{15}\choose{7}}$ sposobów. Aby teraz stworzyć II drużynę, wybieramy 5 spośród 8 niewybranych do tej pory uczniów, co robimy na ${{8}\choose{5}}$ sposobów. Wtedy drużyna III jest już wyznaczona. Ponieważ wyboru I i II drużyny dokonujemy niezależnie (dla każdego wyboru I drużyny możliwe są wszystkie dozwolone wybory do II drużyny), stosujemy regułę iloczynu i ostatecznie podziału na trzy drużyny możemy dokonać na

${{15}\choose{7}}{{8}\choose{5}}= 6 \; 435 \cdot 56$= 360 360 sposobów.

 

A teraz spróbuj sam

1) Na ile sposobów może wypaść 6 spośród 49 ponumerowanych kul Lotto?

2) Na ile sposobów można wybrać delegację klasy liczącej 13 chłopców i 12 dziewcząt, tak aby znalazło się w niej 3 chłopców i 2 dziewczyny?

3) Na ile sposobów można rozdać 27 kart po równo między 3 osoby?

 

Zadanie 2

Czy w zadaniu 2 nie należy podzielić wyniku przez 2? Treść brzmi "Na ile sposobów można 20 uczniów podzielić na dwie równoliczne drużyny?", więc możemy wylosować osoby z 2 grupy do 1 grupy. Dlatego powinno się podzielić przez 2. Nie wiem, czy dobrze myślę...

Jest OK

Grupom nie nadajemy żadnej numeracji. Chodzi tylko o obliczenie, ile jest możliwych do uzyskania podziałów na grupy różniące się składem. Wybieramy skład I grupy, a w II pozostają automatycznie osoby niewybrane do grupy I. Wiec wszystko się zgadza. Gdyby grupy miały nadane numery, to trzeba by pomnożyć wynik przez 2 (nie podzielić) uwzględniając to, że każdy wybrany skład grupy może mieć nadany numer I kub II. Wątpliwość była wiec uzasadniona, ale działanie podane niepoprawnie.

Błędy...

Moim zdaniem mój przedmówca ma rację ,że wynik należy podzielić przez 2 w sposobie wybrania 2 dziesięcioosobowych zespołach.Drużyny rozdzielane są po równo z 20 osób zliczamy ilość wybrania 10 elementów z 20 i otrzymujemy wynik.Ponumerujmy te osoby od 1-20( nie zwracam tu uwagi na kolejność osób w drużynie).Dajmy przykładowo otrzymaną kombinację w jakiejkolwiek drużynie osoby od 1-10 , zatem druga drużyna powstała automatycznie z osób 11-20 .Teraz weźmy ,że otrzymujemy w dowolnej drużynie 11-20 druga powstała z osób 1-10 .
Kombinacja 1-10, Automatycznie 11-20
Kombinacja 11-20 ,Automatyczne 1-10
Dwie otrzymane różnie kombinacje a zestaw drużyn taki sam jeśli nie uwzględniamy jej numeru , bądź kolejności wyboru , jak było w przypadku rozpatrywanym na stronie. Zatem jeśli chcielibyśmy kolejność to nie należy tez mnożyć przez 2 tylko obliczony na stronie wynik jest z uwzględnieniem kolejności.Kolejny błąd istnieje z 27 kartami na rozdzielenie po równo 3 osobom wasz wynik powinien zostać podzielony przez 6
Zauważmy ,że karty mają numery 1-27 dostajemy w wyniku podziału 6 podanych kombinacji:
1-9,19-27,10-18
1-9,10-18,19-27
10-18,1-9,19-27
10-18,19-27,1-9
19-27,10-18,1-9
19-27,1-9,10-18
Dla naszego mechanizmu wyboru kart to inne kombinacja jak widać w argumencie powyżej.Zatem jeśli osoby nie grają roli, oraz kolejność rozlosowania to te 6 różnych kombinacji traktujemy jako 1 sposób podziału kart w końcu karty zostały podzielone na dokładnie identyczne zastawy.Prosiłbym o poprawę błędów
Pozdrawiam

Powrót na górę strony