Spiralny świat muszli

Jedną z bardziej interesujących realizacji matematycznych idei w przyrodzie są muszle wytwarzane przez liczne gatunki mięczaków. Od milionów lat pojawia się na nich wciąż ten sam charakterystyczny rysunek spirali równokątnej, zwanej także spiralą logarytmiczną lub geometryczną.

Nazwa "równokątna" wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. Nazwa "logarytmiczna" pochodzi stąd, stąd, że jej najprostsze równanie (w układzie biegunowym współrzędnych) ma postać: r(θ) = ae^kθ, gdzie a i k to parametry kształtu.  

Kształt spirali równokątnej jest ściśle związany ze złotym podziałem (dlatego czasem nazywa się ją złotą spiralą) i liczbami Fibonacciego - co wyraźnie pokazuje rysunek obok - boki kolejnych kwadratów, w które wpisano ćwiartki łuków okręgów, są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego (pamiętajmy, że stosunki kolejnych coraz dalszych liczb Fibonacciego coraz lepiej przybliżają liczbę złotą).  

Spirala równokątna jest figurą samopodobną, tzn. że dowolny jej fragment odpowiednio powiększony (lub pomniejszony) pokrywa się z pewnym innym jej fragmentem (taką własność mają też fraktale). To właśnie samopodobieństwo tłumaczy, dlaczego taka a nie inna spirala pojawia się na muszlach. Wraz ze wzrostem ciała mięczaka powiększa się również muszla, która go chroni. Organizm staje się coraz większy, ale wciąż zachowuje swój pierwotny kształt. Muszla zachowuje się podobnie.

W przeszłości krzywa ta zwana była spira mirabilis (cudowna spirala), a słynny XVII wieczny matematyk szwajcarski Jakub Bernoulli był tak zafascynowany jej własnościami, że życzył sobie, aby została wyryta na jego nagrobku z napisem eadem mutata resurgo (pozostaję ta sama, choć się zmieniam). Tak się (prawie!) stało, choć niestety grawer okazał się kiepskim matematykiem i na grobie uczonego w katedrze w Bazylei widnieje do dziś inna spirala, o równych odstępach między kolejnymi zwojami (zwana spiralą Archimedesa) - patrz zdjęcie obok.

Mimo że na każdej muszli pojawia się ta sama matematyczna krzywa, przyroda potrafi realizować kształt i wielkość muszli na wiele sposobów, co prezentujemy w poniższej galerii. Zapraszamy do jej obejrzenia i wzbogacania. Dwa pierwsze zdjęcia zostały wykonane w Pieninach, pozostałe w Akwarium Morskim w Gdyni.

Obejrzyj film na ten temat na portalu YouTube (fragment między 12 min 10 sek a 13 min 20 sek). O złotym podziale w budowie roślin przeczytasz na Portalu tutaj. O wykorzystaniu złotego podziału w architekturze przeczytasz tutaj.