Zad. 1. Podaj zbiór wartości funkcji x+[x] określonej na (-∞,0). (Przez [a] oznaczamy tzw. podłogę liczby a, czyli największą liczbę całkowitą nie większą od a).
Zad. 2. Określ dziedzinę funkcji logx2. Czy jest ona monotoniczna?
Zad. 3. Przez P, wewnętrzny punkt trójkąta ABC poprowadzono proste: a - równoległą do BC, b - równoległą do AC i c - równoległą do AB. Prosta a wycina z trójkąta ABC odcinek a1, prosta b - b1, a prosta c - c1. Udowodnij, że a1/BC + b1/AC + c1/AB = 2.
Styczeń był znów trudnym miesiącem Ligi. 3 pkt. uzyskali tylko Juliusz Braun z LO im. św. Jadwigi w Kielcach i Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie. Po 2,5 pkt. przyznaliśmy Katarzynie Kaczmarczyk z LO nr 2 w Wałbrzychu, Dariuszowi Kajtochowi z PZ nr 2 w Oświęcimiu, Radosławowi Szerlągowi z PZ nr 1 w Oświęcimiu i Justynie Wozowczyk z I LO w Lubinie.
W ligowej czołówce są:
- z 11,5 pkt. na 12 możliwych: Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu,
- z 11 pkt.: Juliusz Braun z LO im. św. Jadwigi w Kielcach i Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie,
- z 10,5 pkt.: Katarzyna Kaczmarczyk z LO nr 2 w Wałbrzychu i Justyna Wozowczyk z I LO w Lubinie,
- z 9 pkt.: Anna Mirowska z PLO nr V w Opolu.
Gratulujemy i życzymy dalszych sukcesów!
Zad. 1. f (-1)=-2, f (-2)=-4, natomiast dla x$\in$(-2,-1) f (x)=x-2, co daje wartości (-4,-3). Analogicznie jest dla x$\in$(-1,0) i x<-2, zatem odpowiedź to [tex][-2,-1)\cup[-4,-3)\cup[-6,-5)\cup...[/tex].
Zad. 2. Podstawą logarytmu mogą być liczby dodatnie poza 1, taka jest więc dziedzina danej funkcji. Nie jest monotoniczna, bo jak nietrudno stwierdzić (analizując własności logarytmów lub np. zapisując log2x jako lg2/lgx), dla x>1 ma wartości dodatnie i maleje, a dla x<1 przyjmuje wartości ujemne. (Jest natomiast malejąca na obu przedziałach, na których sumie jest określona).
Zad. 3. Wielu naszych zawodników poradziło sobie z tym zadaniem mimo wyraźnego lapsusu w treści. (Oznaczenia zostały już zmienione na właściwe). A oto proponowane przez nas rozwiązanie: oznaczmy odcinki wycięte poprowadzonymi prostymi z boków trójkąta (obchodząc je w kolejności BCA) przez a11, a12, a13, b11, b12, b13, c11, c12, c13. Jeśli na rysunku obrazującym treść zadania dostrzeżemy równoległoboki, to okaże się, że należy udowodnić równość (a11+a13)/(a11+a12+a13)+(b11+b13)/(b11+b12+b13)+(c11+c13)/(c11+c12+c13)=2. Lewą stronę można zapisać jako 1–a12/(a11+a12+a13)+1–b12/(b11+b12+b13)+1–c12/(c11+c12+c13), czyli należy wykazać, że a12/(a11+a12+a13)+b12/(b11+b12+b13)+c12/(c11+c12+c13)=1. Zauważmy, że trójkąt, którego jednym z boków jest b12 jest podobny do trójkąta ABC, a skala podobieństwa to b12/(b11+b12+b13) i zarazem a13/(a11+a12+a13). Podobnie c12/(c11+c12+c13)=a11/(a11+a12+a13). Po podstawieniach mamy zatem: a12/(a11+a12+a13)+a13/(a11+a12+a13)+a11/(a11+a12+a13), co rzeczywiście daje 1.
