Zad. 1. Supermegamaszynę obliczeniową "Żółw 2010" zaprogramowano w ten sposób, że po naciśnięciu "Enter" wartość przechowywanej na twardym dysku zmiennej x zmienia się według wzoru (x–1)/2. Jaka mogła być początkowa wartość x, jeśli po stukrotnym naciśnięciu "Enter" jest ona liczbą całkowitą?
Zad. 2. Podróżując po układzie współrzędnych, ciało C jest w chwili t w punkcie (sint, sin2t). Opisz jego ruch, począwszy od t=0.
Zad. 3. Podaj objętość czworościanu foremnego opisanego na bryle złożonej z czterech wzajemnie stycznych zewnętrznie kul o promieniu r.
Zadania lutowe były bodaj najtrudniejsze w bieżącej edycji Ligi Ponadgimnazjalnej. Bez zarzutu poradził sobie z nimi tylko Dariusz Kajtoch (otrzymując 3 pkt.), a 2,5 pkt. przyznaliśmy tylko Rafałowi Chojnie.
Tym samym w ligowym rankingu prowadzą:
- z 14,5 pkt. (na 15 możliwych!) - Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu,
- z 13,5 pkt. - Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie,
- z 12,5 pkt. - Katarzyna Kaczmarczyk z LO nr 2 w Wałbrzychu i Justyna Wozowczyk z I LO w Lubinie,
- z 11 pkt. - Juliusz Braun z LO im. św. Jadwigi w Kielcach.
Gratulujemy!
Zad. 1. Jeśli (t–1)/2 jest całkowite, to t musi być postaci 2k+1 dla pewnego całkowitego k. Dany w zadaniu x musi być więc postaci 2(2(...(2(2k+1)+1)+1)+...+1)+1=2100k+299+298+...+2+1=2100k+2100–1 dla dowolnego całkowitego k (czyli równoważnie 2100k–1 przy (innym) całkowitym k). Rozwiązanie można łatwiej zobaczyć, analizując zapis dwójkowy liczby x i jego zmiany przez dodawanie/odejmowanie jedynki i mnożenie/dzielenie przez 2.
Zad. 2. Ponieważ y=x2, ciało przebiega punkty tej paraboli. Wyrażenie sint przyjmuje dla t≥0 w sposób ciągły kolejno wartości z [0,1] "w górę" i "w dół", następnie spada do -1, wzrasta do 0 i cały cykl się powtarza. Punkt wyrusza więc z punktu (0,0), przebiega fragment prawego ramienia paraboli (do punktu (1,1)), następnie wraca do jej wierzchołka i, nadal po paraboli, udaje się do punktu (-1,1), po czym wraca do (0,0) i czynności powtarza.
Zad. 3. Środki danych kul tworzą czworościan foremny o krawędzi 2r. Jeśli przez d oznaczymy odległość wierzchołka czworościanu opisanego od środka najbliższej kuli, a przez x - długość jego krawędzi, to [tex]d+2r\sqrt{\frac{2}{3}}+r=x\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex] (wysokość czworościanu opisanego to powiększona o d u góry i r pod podstawą wysokość czworościanu o wierzchołkach w środkach kul). Drugi związek między x a d możemy uzyskać, patrząc na ułożenie kul na podstawie czworościanu - w jakimś sensie dwuwymiarowy odpowiednik sytuacji opisanej przed chwilą. Odpowiednik d stanowi 2/3 wysokości podstawy pomniejszone o 2/3 wysokości trójkąta tworzonego przez środki trzech leżących na niej kul. Z tw. Pitagorasa mamy zatem [tex]r^2+(\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{2r}{\sqrt{3}})^2=d^2[/tex]. Wyliczając stąd d i podstawiając do pierwszej zależności, otrzymamy równanie kwadratowe: (po pomnożeniu obu jego stron przez 3) x2–(4+2√6)rx+(4+4√6)r2=0, skąd x=r(2+√6±√6). Zauważmy, że x=2r nie jest odpowiedzią (mimo że ma pewien sens (jaki?), skoro pojawia się jako rozwiązanie naszego układu), więc x=2r(1+√6) i ostatecznie szukana objętość to 8r3(1+√6)3√2/12=2r3(19√2+18√3)/3.
