Zad. 1. Udowodnij, że jeśli ułamek 1/n jest okresowy, to jego okres liczy najwyżej n-1 cyfr.
Zad. 2. Strzelając do tarczy, Robin Chód uzyskuje co najmniej 9 pkt. z prawdopodobieństwem 50%, a najwyżej 9 pkt. z prawdopodobieństwem 60%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy razy pod rząd trafi dziewiątkę?
Zad. 3. Ile przekątnych ma dwunastościan foremny?
Ostatnie w roku 2009 zadania Ligi okazały się wyjątkowo trudne. Maksymalną punktację (= 3 pkt.) uzyskali tylko Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu i Radosław Szerląg z PZ nr 1 w Oświęcimiu.
W nowy rok jako czołówka weszli:
- z 9 pkt. na 9 możliwych: Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu,
- z 8 pkt.: Juliusz Braun z LO im. św. Jadwigi w Kielcach, Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie, Katarzyna Kaczmarczyk z LO nr 2 w Wałbrzychu i Justyna Wozowczyk z I LO w Lubinie,
- z 7,5 pkt.: Mateusz Oszczypała z LO w Opatowie.
Gratulujemy!
Zad. 1. Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego można ustalić np. dzięki dzieleniu pisemnemu. Okresowość (nie zajmujmy się nieciekawym przypadkiem liczb, które można zapisać i w skończony, i w okresowy sposób, tj. np. 0,0(9)=0,1) oznacza wówczas, że w pewnym momencie reszta z kolejnego dzielenia wystąpi po raz drugi. Możliwych reszt przy dzieleniu przez n jest n-1 (zero nie jest możliwe, bo oznaczałoby koniec dzielenia, czyli ułamek nie byłby okresowy), zatem któraś musi się powtórzyć najpóźniej po n-1 dzieleniach, czyli najpóźniej po tylu cyfrach kończy się okres.
Zad. 2. Dziewiątkę uzyskuje z prawdopodobieństwem 10% (oznacza to bowiem jednoczesne zajście obu opisanych w zadaniu zdarzeń), a zakładając, że wyniki kolejnych strzałów są niezależne, odpowiedź obliczymy jako 0,1·0,1·0,1 = 0,001. (Założenie to jest w rzeczywistości raczej niesłuszne, ale ustalenie dokładnej zależności kolejnych wyników strzelca jest w zasadzie niemożliwe, więc - ponieważ nie mamy innych danych - przyjmujemy je jako sensowne uproszczenie).
Zad. 3. Przekątne to odcinki łączące dwa wierzchołki i niebędące przekątnymi ścian ani krawędziami. Dwunastościan foremny ma 12·5:3=20 wierzchołków, więc wszystkich odcinków o końcach w wierzchołkach jest 20·19:2=190. Z tego 12·5:2=30 jest krawędziami, a 12·5=60 - przekątnymi ścian. Dwunastościan foremny ma więc 100 przekątnych.
