Zad. 1. Lis jest oddalony od psa o 60 swoich skoków. Trzy susy psa to 7 skoków lisa. Pies wykonuje 6 susów w tym samym czasie co lis 9 skoków. Po ilu susach pies dogoni lisa?
Zad. 2. Dany jest okrąg i jego średnica AB. Prosta BC jest styczna do okręgu, a sieczna AC przecina okrąg w punkcie D , który dzieli odcinek AC na połowy. Oblicz miarę kąta DAB.
Zad. 3. Na ekranie komputera pojawiają się kolejne cyfry zapisu dziesiętnego liczby 22022, a po nich kolejne cyfry zapisu dziesiętnego liczby 52022. Ile łącznie cyfr pojawi się na ekranie?
W marcu punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Emilia Cichowska II LO Lubin, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Tomasz Wroński LO Aslan Głogów, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Aleksander Kiszkowiak I TE Warszawa.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Pies dogoni lisa, gdy nadrobi dystans 60 skoków lisa. 6 susów psa jest równe 14 skokom lisa, ale lis w czasie 6 susów psa robi 9 swoich skoków, więc pies nadrabia w swoich 6 susach drogę równą 5 skokom lisa. Do momentu dogonienia go potrzebuje 60:5 = 12 serii po 6 susów, czyli 12.6 = 72 susy.
Zad. 2. Wiadomo, że |AD|=|DC| i |∡ADB|= 90º, więc trójkąty ABD i BDC są przystające (na mocy cechy bkb), a stąd |AB|=|BC|, bo w przystających figurach przystają odpowiednie ich części. Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny, |∡BAC|= 45º, więc |∡DAB|= 45º.
Zad. 3. Niech zapis dziesiętny liczby 22022 ma k cyfr, a zapis dziesiętny liczby 52022 ma n cyfr. Na ekranie komputera pojawiło się więc k+n cyfr. Zachodzą nierówności: 10k-1 < 22022 < 10k oraz 10n-1 < 52022 < 10n. Mnożąc te nierówności stronami, otrzymujemy 10k-1·10n-1 < 22022·52022 < 10k·10n, czyli 10k+n-2 < 102022 < 10k+n. Ponieważ między liczbami k+n–2 i k+n jest tylko jedna liczba naturalna, zachodzi równość 2022 = k+n–1, czyli k+n=2023 i tyle cyfr pojawiło się na ekranie.
