Zad. 1. Adam urodził się w niedzielę 29 lutego. Po ilu latach będzie obchodził po raz pierwszy urodziny także w niedzielę 29 lutego?
Zad. 2. Przez wierzchołek A trójkąta ABC poprowadzono prostą l dzielącą środkową CD na połowy. W jakim stosunku prosta l dzieli bok BC tego trójkąta?
Zad. 3. Dany jest wielokąt foremny mający 2000 wierzchołków. Na ile sposobów można wybrać cztery spośród nich tak, aby były wierzchołkami kwadratu?
W lutym punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Emilia Cichowska II LO Lubin, Aleksander Kiszkowiak I TE Warszawa, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Hubert Kosmala II LO Oleśnica.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Następne urodziny Adama wypadną 29 lutego po 306+3.365+60 = 1461 dniach od poprzednich, które wypadły tego dnia. Będzie to jednak inny dzień niż niedziela, gdyż 1461 nie dzieli się przez 7 bez reszty. Skoro 1461:7 = 208.7+5, to w kolejnym roku przestępnym ta reszta wyniesie 3, potem 1, 6, 4, 2. Dopiero w kolejnym roku przestępnym reszta wynieise 0, a 29 luty wypadnie w niedzielę. Będzie to w siódmym kolejnym roku przestępnym, czyli po 7.4 = 28 latach.
Zad. 2. Oznaczmy przez M środek odcinka CD. Przez punkt B prowadzimy prostą równoległą do prostej CD, przecinającą prostą AC w punkcie E, a prostą AM w punkcie F. Zauważmy, że F jest środkiem odcinka BE, natomiast C środkiem odcinka AE. Wobec tego BC i AF są środkowymi trójkąta ABE, a więc dzielą się w stosunku 2:1.
Zad. 3. Przyjmijmy, ze wierzchołkami danego 2000-kąta są punkty: W1, W2, …, W500, W501, …, W1000, W1001, …, W1500, W1501, …, W2000. Wówczas jednym z kwadratów jest W1W501W1001W1501 (dlaczego?), drugim W2W502W1002W1502 itd. Ostatnim jest W500W1000W1500W2000. Takich kwadratów jest 500. Skąd wiadomo, że innych nie ma?
