Zad. 1. Znajdź wszystkie pary liczb wymiernych (x, y), takie, że (x+y√3)4 = 28–16√3.
Zad. 2. Niech n=1010 oraz k=nn. Ile cyfr występuje w zapisie dziesiętnym liczby kk?
Zad. 3. Jeśli połączymy co drugi wierzchołek wielokąta foremnego W1, to otrzymamy wielokąt W2, którego kąt wewnętrzny jest o x stopni mniejszy od kąta wewnętrznego wielokąta W1. Jeśli połączymy co trzeci wierzchołek wielokąta W1, to otrzymamy wielokąt W3. O ile mniejszy jest kąt wewnętrzny wielokąta W3 od kąta wewnętrznego wielokąta W1?
W maju punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Julia Śnieżek I LO Nysa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław, Tomasz Wroński LO Aslan Głogów;
- 2 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Aleksander Kiszkowiak I TE Warszawa, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Ponieważ 28-16√3=(4-2√3)2, więc (x+y√3)4=(4-2√3)2, a stąd (x+y√3)2=4-2√3 lub (x+y√3)2=2√3-4. Drugą opcję odrzucamy, gdyż 2√3-4<0. Zauważmy również, że 4-2√3=(1-√3)2, czyli (x+y√3)2=(1-√3)2, stąd otrzymujemy x+y√3=1-√3 lub x+y√3=√3-1. Są dwie pary liczb spełniające warunki zadania: x=-1 i y=1 oraz x=1 i y=-1.
Zad. 2. [tex] k=(10^{10})^{(10^{10})}=10^{(10\cdot10^{10})}=10^{(10^{11})} [/tex]
[tex] k^k=[10^{(10^{11})}]^{10^{(10^{11})}}=10^{(10^{11}\cdot10^{(10^{11})})}=10^{{10}^{{11+10}^{11}}} [/tex]
Dziesiętny zapis liczby kk ma [tex] 1+10^{{11}+{10}^{11}} [/tex] cyfr.
Zad. 3. Oznaczmy przez n liczbę wierzchołków wielokąta foremnego W1. Jego kąt wewnętrzny ma miarę [tex] 180^ \circ-\frac{360^\circ}{n}[/tex]. Zachodzi zatem równość [tex] 180^ \circ-\frac{360^\circ}{n}=180^ \circ-\frac{360^\circ}{\frac{1}{2}n}+x [/tex]. Z własności tej otrzymujemy [tex] x=\frac{360^\circ}{n} [/tex]. Zatem szukana różnica wynosi [tex] 180^\circ-\frac{360^\circ}{n}-180^ \circ-\frac{360^\circ}{\frac{1}{3}n}=\frac{720^\circ}{n}=2x [/tex].
