Zad. 1. Dla liczby naturalnej n przez p(n) oznaczmy iloczyn cyfr liczby n. Oblicz p(1)+p(2)+p(3)+…+p(100).
Zad. 2. W zapisie liczby sześciocyfrowej K dwukrotnie powtarza się trzycyfrowa grupa cyfr (np. jak w liczbie 123123). Największą liczbą pierwszą, przez którą dzieli się K, jest 571. Podaj pozostałe dzielniki pierwsze liczby K.
Zad. 3. Na dziedzińcu Fortu Ahnarmot ustawiono piramidę z czterech kul armatnich tego samego kalibru. Trzy leżą na ziemi, czwarta ułożona jest na nich. Każda kula jest styczna do trzech pozostałych. Średnica każdej kuli wynosi 20 cm. Jaka jest wysokość piramidy?
W czerwcu punkty zdobyli:
- 3 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Aleksander Kiszkowiak I TE Warszawa, Michał Węgrzyn ALO PWr Wrocław;
- 2 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Karolina Szymandera I LO Inowrocław, Julia Śnieżek I LO Nysa, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola.
Zad. 1. Zauważmy, że p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=4, p(5)=5, p(6)=6, p(7)=7, p(8)=8, p(9)=9 oraz [tex] p(\overline{ki})=p(k)\cdotp(i) [/tex], gdzie [tex] \overline{ki} [/tex] oznacza liczbę dwucyfrową o cyfrach k, i. Wówczas p(1)+p(2)+…+p(100) = p(1)+…+p(9)+p(1)p(1)+p(2)+…+p(9)+p(2)p(1)+…+p(9)+..+p(9)p(1)+p(2)+…+p(9)+p(100) = (1+p(1)+p(2)+…+p(9)).(p(1)+p(2)+…+p(9)) = 46.45 = 2070.
Zad. 2. Liczbę K można zapisać w postaci [tex]\overline{xyzxyz}=\overline{xyz} \cdot1001[/tex]. Liczba 1001 nie dzieli się przez 571, więc 571 dzieli się przez [tex] \overline{xyz}[/tex]. Z tego wynika, że [tex] \overline{xyz}=571[/tex]. Ponieważ 1001 = 7·11·13, więc pozostałymi dzielnikami liczby K są 7, 11 i 13.
Zad. 3. Przyjmując oznaczenia jak na rysunku, gdzie O1, O2, O3, O4 są środkami kul i wierzchołkami czworościanu foremnego o krawędzi a=2r=20, zauważamy, że wysokość piramidy H = h+2r. W trójkącie O1OO4 na podstawie twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy [tex]h^2=a^2-(\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2})^2=\frac{2}{3}a^2 [/tex], więc [tex] h=a\sqrt{\frac{2}{3}}=20\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex]. Zatem wysokość piramidy wynosi [tex]H=h+2r=\sqrt{\frac{800}{3}}+20=20(1+\frac{\sqrt{6}}{3})[/tex].
