Zad. 1. Dla ustalonej liczby naturalnej n oznaczmy przez An zbiór wszystkich punktów, których obie współrzędne należą do zbioru {0, 1, 2, ..., n}. Punkt (x, y) nazwiemy wewnętrznym, jeśli 0 < x, y < n. Funkcję f zdefiniowaną na An nazwiemy dobrą, jeśli posiada następującą własność: Dla każdego punktu wewnętrznego A wartość f(A) jest średnią wartości f dla czterech punktów sąsiadujących z A (tzn. tych, których odległość od A wynosi 1). Niech f i g będą dwiema dobrymi funkcjami takimi, że f(A) = g(A) dla każdego punktu A z An, który nie jest wewnętrzny. Wykaż, że f(A) = g(A) dla każdego punktu A z An.
Zad. 2. Znajdź wszystkie rozwiązania układu równań w trójkach liczb rzeczywistych.
[tex] x + \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = y [/tex]
[tex] y + \log(y + \sqrt{y^2 + 1}) = z [/tex]
[tex] z + \log(z + \sqrt{z^2 + 1}) = x [/tex]
Zad. 3. Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej m istnieją liczby całkowite a i b spełniające warunki: |a|, |b| < m oraz [tex] 0< a + b\sqrt{2} < \frac{1 + \sqrt{2}}{m + 2}[/tex].
Za rozwiązania zadań majowych 15 pkt. otrzymał Radosław Górzyński - I LO Lubin.
Zad. 1. Zauważmy, że każda funkcja dobra przyjmuje wartość najmniejszą (największą) dla pewnego argumentu leżącego na brzegu (nie dla punktu wewnętrznego). Wystarczy zastosować to spostrzeżenie do dobrej funkcji f–g.
Zad. 2. Pokażemy, że jedynym rozwiązaniem takiego układu jest trójka x=y=z=0. Załóżmy, że x>0. W takim razie [tex]x + \sqrt{x^2 + 1} > 1[/tex], czyli y>x. Postępując analogicznie, dostajemy ciąg nierówności x<y<z<x, który jest sprzeczny. Załóżmy teraz, że x<0. W takim przypadku mamy [tex]x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} < 1[/tex], czyli x>y. Postępując analogicznie jak w poprzednim przypadku, także otrzymujemy sprzeczność.
Zad. 3. Rozważmy funkcję [tex]f(x, y) = x + y\sqrt{2}[/tex] o argumentach przebiegających zbiór 0, 1, ..., m. Z powodu niewymierności liczby √2 funkcja f przyjmuje na tym zbiorze (m+1)2 różnych wartości, z których największą jest m(1+√2). Podzielmy przedział [0, m(1+√2)] na m(m+2) przedziałów długości [tex]\frac{1 + \sqrt{2}}{m + 2}[/tex]. Na mocy zasady szufladkowej istnieją pary (a1, b1), (a2, b2) takie, że liczby f(a1, b1) > f(a2, b2) > 0 trafią do tego samego podprzedziału. Łatwo sprawdzić, że para (a1–a2, b1–b2) spełnia warunki zadania.
