Zad. 1. W przestrzeni leżą cztery niewspółpłaszczyznowe punkty A, B, C, D. Płaszczyznę nazwiemy od nich równoodległą, jeżeli każdy z tych punktów leży w tej samej odległości od niej. Ile jest płaszczyzn równoodległych od A, B, C, D?
Zad. 2. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej k można wybrać k-wyrazowy podciąg a1, a2, ..., ak ciągu harmonicznego 1, 1/2, 1/3, .... w taki sposób, że dla każdego k ≥ i ≥ 3 będzie zachodziła równość ai = ai-2 - ai-1. Wykaż też, że nie można wybrać nieskończonego podciągu o takiej własności.
Zad. 3. Rozważmy następującą grę na nieskończonej szachownicy. Ruch każdego z graczy polega na wybraniu w swojej kolejce nieoznaczonego dotąd pola i oznaczeniu go swoim symbolem. Gracza A używa symbolu kółka, a gracz B - krzyżyka. Wykonują oni ruchy naprzemian. Gracz wygrywa w momencie, w którym oznaczy swoim symbolem pięć kolejnych pól w wierszu lub w kolumnie. Wykaż, że jeśli zaczyna A, to B może nigdy nie dać mu wygrać.
Za zadania kwietniowe 20 pkt. zdobył Radosław Górzyński - I LO Lubin.
Zad. 1. Wszystkie cztery punkty nie mogą leżeć po tej samej stronie płaszczyzny równoodległej, bo musiałyby wtedy leżeć na jednej płaszczyźnie. Albo dwa punkty leżą po jednej stronie płaszczyzny równoodległej i dwa po drugiej, albo trzy punkty leżą po jednej stronie i jeden po drugiej. Każde takie rozłożenie odpowiada jednoznacznie płaszczyźnie (dlaczego?). W przypadku trzech punktów po jednej stronie możemy znaleźć płaszczyznę równoległą do trójkąta, który one wyznaczają, leżącą w tej samej odległości od płaszczyzny trójkąta i czwartego punktu. Sytuacja z dwoma punktami po każdej stronie jest analogiczna - szukamy płaszczyzny równoodległej wśród płaszczyzn równoległych do dwóch odcinków. W sumie możemy znaleźć 4+3 = 7 płaszczyzn równoodległych.
Zad. 2. Niech 1/a1 > 1/a2 > ... > 1/an będzie ciągiem spełniającym warunki zadania. Wtedy dla 1/a1 + 1/a2 = a/b dłuższy o jeden wyraz ciąg 1/a, 1/ba1, 1/ba2, ..., 1/ban również spełnia warunki zadania. Załóżmy, że istnieje nieskończony ciąg ai o rozważanej własności. Wtedy z tożsamości [tex] \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_{n+2}} [/tex] wynika, że an+2| NWW(an, an+1). Stosując tę tożsamość indukcyjnie, pokazujemy że dla każdej liczby naturalnej n liczba an+2 jest dzielnikiem NWW(a1, a2). Jest to jednak niemożliwe, ponieważ ciąg ai musi być rosnący.
Zad. 3. Następujący schemat pozwala pokryć nieskończoną szachownicę kafelkami 1x2 w taki sposób, by każdy rząd i kolumna długości 5 zawierały przynajmniej jeden z kafelków w całości:
A A B C D D
E F F C G H
E I J J G K
L I M N N K
O O M P Q Q
