Zad. 1. Z worka z liczbami trzycyfrowymi wylosowano dwie. Jakie jest prawdopobieństwo, że ich iloczyn jest wielokrotnością czwórki?
Zad. 2. Czy istnieje funkcja o dziedzinie (-3,-1>[tex]\cup[/tex]<1,∞) i zbiorze wartości <-2,1) \ {-1}? Uzasadnij!
Zad. 3. Przez punkt wewnętrzny trójkąta poprowadzono proste równoległe do jego boków, dzieląc go w ten sposób na trzy trójkąty i trzy czworokąty. Udowodnij, że potrojona suma pól tych trójkątów nie może być mniejsza niż pole wyjściowego trójkąta.
Zadania z marca nie były łatwe i po 3 pkt. uzyskali tylko Dariusz Kajtoch i Rafał Chojna.
Czołówkę Ligi stanowią teraz: (Przepraszamy za błędy w dotychczasowej punktacji!)
- z 17,5 pkt. (na 18 możliwych!) - Dariusz Kajtoch z PZ nr 2 w Oświęcimiu,
- z 16,5 pkt. - Rafał Chojna z LO im. Królowej Jadwigi w Lublinie,
- z 13 pkt. - Justyna Wozowczyk z I LO w Lubinie,
- z 12,5 pkt. - Katarzyna Kaczmarczyk z LO nr 2 w Wałbrzychu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Sprzyjające są dwie sytuacje – wylosowano dwie liczby parzyste albo jedną podzielną przez 4 i jedną nieparzystą. Możliwości wyboru pierwszego typu jest 450·449:2, a drugiego – 225·450. Szukane prawdopodobieństwo to zatem (450·449/2 + 225·450) / (900·899/2) = (449+450) / (2·899) = 1/2.
Zad. 2. Istnieje, np. określona wzorem –x–4 dla x[tex]\in[/tex](-3,-2], x+1 dla x[tex]\in[/tex](-2,-1] i 1–1/x dla x≥1.
Zad. 3. Jeśli odcinki wycięte przez poprowadzone proste z jednego boku trójkąta oznaczymy przez x, y i z, to trójkąty, o których mowa w zadaniu, są podobne do wyjściowego w skalach x/(x+y+z), y/(x+y+z) i z/(x+y+z). Jeśli ich pola oznaczymy przez Pk, a pole dużego trójkąta przez P, mamy więc √(P1/P)+√(P2/P)+√(P3/P)=(x+y+z)/(x+y+z), skąd √P1+√P2+√P3=√P, co z kolei po podniesieniu stronami do kwadratu i skorzystaniu z faktu, że dla dowolnych nieujemnych a i b √ab≤(a+b)/2, daje 3(P1+P2+P3)≥P, co należało wykazać.
