Zad. 1. Dwie świece mają różne długości i różne grubości. Krótsza pali się 11 godzin a dłuższa 7. Obie świece zapalono w tej samej chwili. Po trzech godzinach okazało się, że ich niewypalone części są równej długości. Jaki był stosunek ich pierwotnych długości?
Zad. 2. Do zapisu numeru roku 2022 potrzeba tylko dwóch różnych cyfr. Ile było takich lat od początku naszej ery?
Zad. 3. Butla z gazem opróżniona w 30 procentach zawiera o 30 litrów gazu więcej niż butla w 30 procentach wypełniona. Jaka jest pojemność butli?
W listopadzie punkty zdobyli:
- 3 – Hanna Adamska SP Parnas Wrocław, Mateusz Bielerzewski SP 42 Wrocław, Martyna Burnos SP 3 Głogów, Natalia Czurejno SP Wykroty, Łukasz Dukiel SP 16 Wrocław, Igor Gawrzoł, SP Aslan Głogów, Rafał Frankowski SP 139 Warszawa, Julia Kałużny SP 3 Głogów, Aleksandra Koziej SP Jarczew, Wiktor Kuczaj SP 7 Nowa Ruda, Aleksander Masztalski SP 3 Mikołów, Viktoriia Nizhnikova SP 16 rocław, Joanna Nowakowska SP 3 Głogów, Wiktoria Pietrzak SP 3 Głogów, Zuzanna Polasik SP 3 Mikołów, Gabriela Pułecka SP 2 Brzeg Dolny, Oliwia Ryndak SP 26 Kraków, Szymon Ryś SP 16 Wrocław, Aleksander Słowik SP 26 Kraków, Oliwia Stańczyk SP Aslan Głogów;
- 2 –Maja Dałek SP 44 Wrocław, Mateusz Galik SP Arka Wrocław, Anna Janczyńska SP 26 Kraków, Kacper Kozak SP Tyniec Mały, Arkadiusz Piwowarczyk SP 14 Ostrowiec Świętokrzyski, Adrian Przygodzki SP Strzelce, Oliwia Raszewska SP 6 Boguszów-Gorce, Alisa Skamarokh SP 16 Wrocław, Natalia Soja SP?, Tytus Szczapa SP Młody Kopernik Wałbrzych, Alicja Wiśniewska SP 255 Warszawa, Jakub Witosiński SP 26 Kraków, Dominika Wojdacz SP 11 Inowrocław, Maciej Wójcik SP 53 Kraków, Radosław Wypych SP 3 Mikołów, Anastasia Yakovleva SP 3 Mogilno;
- 1 – Maciej Piasecki SP Tyniec Mały, Bartosz Rodzyński SP Tyniec Mały, Igor Sudyka SP 2 Jasło.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech krótsza świeca ma na początku długość a, a dłuższa - b. Ponieważ świeca krótsza wypala się w ciągu 11 godzin, po upływie 3 godzin ma długość 8/11a. Ponieważ świeca dłuższa wypala się w ciągu 7 godzin, po 3 godzinach ma długość 4/7b. Stąd 8/11a = 4/7b, czyli b:a=14:11.
Zad.2. Policzymy najpierw lata spełniające warunki zadania, których numery są dwucyfrowe (tzn. od 10 do 99), potem trzycyfrowe (od 100 do 999), następnie czterocyfrowe od 1000 do 1999, a na końcu pozostałe od 2000 do 2022.
a) Szukane liczby dwucyfrowe mają postać AB. Istnieje dziewięć sposobów wstawienia cyfry w miejsce A (bez zera), a gdy ta cyfra zostanie wybrana, pozostaje dziewięć wyborów cyfry na miejsce B (bez cyfry, która została wybrana jako A). Wszystkich liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach jest zatem 9.9 = 81.
b) Szukane liczby trzycyfrowe mają jedną z postaci: AAB, ABA albo BAA. W każdym przypadku (analogicznie jak poprzednio) istnieje dziewięć możliwości wstawienia cyfry w miejsce A i dziewięć wyborów dla B. Jest zatem 9.9 = 81 możliwości każdego typu, co daje razem 3.81 = 243 liczby.
c) Szukane liczby czterocyfrowe mają jedną z postaci: 111A albo 11A1, albo 1A11, albo 11AA, albo 1AA1, albo 1A1A, albo 11A1. W każdym przypadku istnieje dziewięć możliwości wstawienia cyfry A (różnej od 1), co daje razem 7.9 = 63 liczby.
d) Pozostają jeszcze cztery liczby spełniające warunki zadania: 2000, 2002, 2020 i 2022.
Ostateczne szukana liczba lat wynosi 81+243+63+4 = 391.
Zad. 3. Niech x oznacza pojemność butli. Wówczas 0,7x = 0,3x + 30, skąd x=75. Pojemność butli wynosi 75 litrów.
