Dlaczego dorośli trzymają pieniądze w bankach? Nie tylko dlatego, że są tam bezpieczne, ale przede wszystkim dlatego, że pieniędzy złożonych na lokacie bankowej stale przybywa bez żadnego udziału ze strony klienta. Bank dopłaca mu za to, że zechciał powierzyć mu swoje oszczędności.
Lokaty bankowe, na których gromadzimy i pomnażamy pieniądze, są oprocentowane. O wysokości oprocentowania w danym banku mówi stopa procentowa (będziemy ją oznaczać i). Mówi ona o tym, ile groszy zysku przyniosła każda złotówka złożona na lokacie w ciągu roku.
Na przykład jeśli założymy w banku lokatę w wysokości 200 zł, a po roku bank wypłaci nam 210 zł, to nasz zysk wyniesie 10 zł, co oznacza, że każda złotówka przyniosła 5 groszy zysku. Powiemy wtedy, że stopa procentowa w tym banku wynosi 5 procent (co zapisujemy tak: 5%). Jeśli natomiast założymy lokatę w wysokości 300 zł w banku, w którym stopa procentowa wynosi 4% (czytaj: 4 procent), to po roku każda złotówka da nam 4 gr zysku, czyli nasz całkowity zysk wyniesie 12 zł i bank wypłaci nam 312 zł.
Drugą ważną rzeczą mającą wpływ na to, jak szybko rosną w banku nasze oszczędności, jest okres kapitalizacji, czyli czas, po jakim bank dolicza zyski do naszej lokaty. Jeśli okres kapitalizacji wynosi jeden rok, to stopę procentową nazywamy efektywną.
Na przykład jeśli założymy lokatę w wysokości 400 zł przy efektywnej stopie procentowej 5% i trzymamy na niej pieniądze przez 3 lata, to nasze zyski wyniosą:
- po I roku: 400 · 5 gr = 20 zł (i zostaną doliczone do lokaty, czyli na koncie będzie 420 zł),
- po II roku: 420 · 5 gr = 21 zł (i zostaną doliczone do lokaty, czyli na koncie będzie 441 zł),
- po III roku: 441 · 5 gr = 22,05 zł (i zostaną doliczone do lokaty, czyli na koncie będzie 463,05 zł i tyle właśnie pieniędzy wypłaci nam bank).
Jeśli założylibyśmy na tych samych warunkach lokatę w wysokości x zł, to na naszym koncie będzie:
- po I roku: [tex]x + x \cdot 0,05 = x \cdot 1,05[/tex]zł,
- po II roku: [tex](x \cdot 1,05) + (x \cdot 1,05) \cdot 0,05 = (x \cdot 1,05) \cdot 1,05 = x \cdot 1,05^2[/tex]zł,
- po III roku: [tex](x \cdot 1,05^2) + (x \cdot 1,05^2) \cdot 0,05 = (x \cdot 1,05^2) \cdot 1,05 = x \cdot 1,05^3[/tex]zł.
Widać, że jeżeli założymy w banku lokatę w wysokości x zł przy efektywnej stopie procentowej i% na m lat, to po upływie tego czasu bank wypłaci nam [tex]x \cdot (1 + \frac{i}{100})^m[/tex]zł.
[koniec wykładu dla SP]
Jeśli okres kapitalizacji jest krótszy niż rok, czyli odsetki doliczane są do oszczędności częściej niż raz w roku (powiedzmy, że n razy w ciągu roku), mamy do czynienia z nominalną stopą procentową (będziemy ją oznaczać i(n)).
Na przykład jeśli założymy w banku lokatę w wysokości 200 zł przy nominalnej rocznej stopie procentowej 20% z półrocznym okresem kapitalizacji (czyli dla n=2), to bank połowę należnych nam odsetek doliczy do lokaty po pierwszym i połowę po drugim półroczu. Zatem będziemy mieli na koncie:
- po I półroczu: [tex]200 + \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0,20 = 220[/tex]zł,
- po II półroczu: [tex]220 + \frac{1}{2} \cdot 220 \cdot 0,20 = 242[/tex] zł.
Po roku bank wypłaci nam 242 zł i jest to więcej, niż przy tej samej stopie procentowej i rocznym okresie kapitalizacji (wtedy wypłaciłby nam tylko 200 + 200·0,20 = 240 zł). Można zadać pytanie, jaka powinna być efektywna stopa oprocentowania lokaty, aby po roku przyniosła taki sam zysk. Łatwo to obliczyć: nasz całkowity zysk wyniósł 42 zł, zatem zysk z jednej ulokowanej złotówki to 42/200 = 0,21, czyli efektywna stopa procentowa dla tego przykładu wynosi 21%.
Jeśli założylibyśmy lokatę w wysokości x zł przy nominalnej stopie procentowej i(2)% (czyli odsetki doliczane są co pół roku) na 3 lata, to na naszym koncie będzie:
- po I półroczu:
[tex]x + x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{i^{(2)}}{100} = x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})[/tex]zł, - po II półroczu:
[tex]x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100}) + x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{i^{(2)}}{100} = x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100}) \cdot (1 + \frac{i^{(2)}}{2\cdot100}) = x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})^2[/tex]zł, - po III półroczu:
[tex]x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})^2 + x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac {i^{(2)}}{100} = x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})^2 \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100}) = x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})^3[/tex]zł - itd.
- po VI półroczu: [tex]x \cdot (1 + \frac {i^{(2)}}{2\cdot100})^6[/tex]zł
Widać, że jeżeli założymy w banku lokatę w wysokości x zł przy nominalnej stopie procentowej i(n) (czyli odsetki doliczane są n razy w ciągu roku) na m lat, to po upływie tego czasu bank wypłaci nam
[tex]x \cdot (1+\frac{i^{(n)}}{n\cdot100})^{m\cdot n}[/tex] zł.
Jeśli natomiast chcemy obliczyć efektywną stopę procentową dla danej nominalnej stopy procentowej n-krotnie kapitalizowanej w ciągu roku, to wystarczy porównać wzory otrzymane dla obu typów lokat na kwotę, jaką odbierzemy z banku po roku. Otrzymamy:
[tex](1 + \frac{i}{100}) = (1+\frac{i^{(n)}}{n\cdot 100})^n[/tex], a stąd już łatwo obliczymy wielkość i.
Bank "Czysty zysk" oferuje swoim klientom lokaty o stopie procentowej 5% z rocznym okresem kapitalizacji odsetek.
Zadanie 1. Pan Kowalski założył w tym banku lokatę w wysokości 1000 zł. Ile zarobi po 3 latach na tej inwestycji?
Zadanie 2. Pani Kowalska postanowiła założyć w tym samym banku lokatę przeznaczoną na studia swojej córki, która właśnie chodzi do IV klasy podstawówki, więc na studia pójdzie dopiero za 9 lat. Mama chciałaby, aby do tego czasu na lokacie uzbierało się 20 000 zł. Jaką kwotę powinna złożyć na lokacie?
Zadanie 3. Syn państwa Kowalskich chodzi już do gimnazjum i może samodzielnie założyć lokatę w tym samym banku. Właśnie dostał na urodziny 100 zł, które chce złożyć na lokacie. Po ilu latach ta kwota ulegnie podwojeniu?
Bank "Czysty zysk" oferuje swoim klientom lokaty z nominalną stopą procentową 4% i z miesięcznym okresem kapitalizacji.
Zadanie 1. Pan Kowalski założył w tym banku lokatę w wysokości 1000 zł. Ile zarobi po 3 latach na tej inwestycji?
Zadanie 2. Pani Kowalska postanowiła założyć w tym samym banku lokatę przeznaczoną na studia swojej córki, która właśnie chodzi do I klasy gimnazjum, więc na studia pójdzie dopiero za 6 lat. Mama chciałaby, aby do tego czasu na lokacie uzbierało się 20 000 zł. Jaką kwotę powinna złożyć na lokacie?
Zadanie 3. Syn państwa Kowalskich chodzi już do liceum i może samodzielnie założyć lokatę w tym samym banku. Właśnie dostał na urodziny większą kwotę pieniędzy, którą chce złożyć na lokacie. Po ilu latach i ilu miesiącach ta kwota ulegnie podwojeniu?
Bank "Czysty zysk" oferuje swoim klientom lokaty z nominalną stopą procentową 4% z miesięcznym lub dziennym (tzn. przez 365 dni w roku) okresem kapitalizacji.
Zadanie 1. Oblicz efektywne stopy procentowe dla obu typów lokat w tym banku.
Zadanie 2. Pan Kowalski założył w tym banku lokatę w wysokości 1000 zł w wariancie z kapitalizacją miesięczną i po 3 latach wypłacono mu 1250 zł. Jakie było oprocentowanie efektywne tej lokaty?
Zadanie 3. Syn państwa Kowalskich, który właśnie skończył studia i podjął pierwszą pracę, postanowił pierwsze zarobione 1000 zł złożyć na lokacie w konkurencyjnym banku, oferującym nominalną stopę procentową 10%. Czy po upływie roku może z niej uzyskać 1105,17 zł? Odpowiedź krótko uzasadnij.
Wojciech Antoszczyszyn Wielki Komorsk, Aleksandra Ciechanowska SP 107 Wrocław, Anna Decker SP 107 Wrocław, Kacper Duszeńko Radwanice, Dominik Frankowski Radwanice, Ewa Gapińska SP 4 Wągrowiec, Adam Gawlik SP 28 Wałbrzych, Anna Górska SP 2 Olesno, Szymon Guzik SP 28 Wałbrzych, Dominik Kliński Łagoszów Wielki, Kacper Kliński Łagoszów Wielki, Michał Kłapus SP Radwanice, Tomasz Kuśmierczyk SP 24 Wrocław, Joanna Lisiowska KSP Warszawa, Anna Łeń SP 111 Łódź, Julia Pawlińska Bielany Wrocławskie, Weronika Pinda SP 28 Wałbrzych, Jan Równicki SP 10 Tarnowskie Góry, Mateusz Rzepecki SP 91 Wrocław, Klaudia Sobkowicz Wrocław, Karolina Szwata SP 3 Ścinawa, Jacek Śrema Skoki, Wiktoria Zdon Truskolasy.
Po dwóch miesiącach prowadzą z wynikiem 6 pkt.: Wojciech Antoszczyszyn Wielki Komorsk, Anna Decker SP 107 Wrocław, Kacper Duszeńko Radwanice, Dominik Frankowski Radwanice, Ewa Gapińska SP 4 Wągrowiec, Adam Gawlik SP 28 Wałbrzych, Anna Górska SP 2 Olesno, Szymon Guzik SP 28 Wałbrzych, Dominik Kliński Łagoszów Wielki, Kacper Kliński Łagoszów Wielki, Michał Kłapus SP Radwanice, Tomasz Kuśmierczyk SP 24 Wrocław, Joanna Lisiowska Warszawa, Anna Łeń SP 111 Łódź, Julia Pawlińska Bielany Wrocławskie, Weronika Pinda SP 28 Wałbrzych, Jan Równicki SP 10 Tarnowskie Góry, Mateusz Rzepecki SP 91 Wrocław, Wiktoria Zdon Truskolasy.
Karolina Krzykawiak GM 19 Wrocław, Karol Lebiodzik GIM 40, Michał Martusewicz GIM 14 Wrocław, Adrianna Motyka GM 26 Wrocław, Marcin Sidorowicz GIM 49 Wrocław, Weronika Trzeciak Zambrów, Michał Żłobicki GM 1 Wrocław.
Po dwóch miesiącach prowadzą z wynikiem 6 pkt.: Karolina Krzykawiak GM 19 Wrocław, Adrianna Motyka GM 26 Wrocław, Michał Żłobicki GM 1 Wrocław.
Joanna Górska I LO Olesno, Krzysztof Nowak I LO Włocławek, Jakub Ruszkowski I LO Włocławek, Bartosz Włodowski Czarnowąsy.
Po dwóch miesiącach prowadzi z wynikiem 5,25 pkt. Joanna Górska I LO Olesno.
Odpowiedzi są podane z dokładnością do groszy, dlatego pojawia się w nich znak przybliżenia [tex]\approx[/tex].
Zad. 1. Pan Kowalski po 3 latach zgromadzi na lokacie [tex]1000 \cdot \left(1+\frac{5}{100}\right)^3\approx 1157,63[/tex]zł, więc jego zarobek wyniesie 1157,63-1000,00 = 157,63 zł.
Zad. 2. Pani Kowalska powinna złożyć na lokacie x zł, która to kwota spełnia zależność:
[tex]20000=x\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^9[/tex], zatem [tex]\frac{20000}{\left(1+\frac{5}{100}\right)^9}=x[/tex], czyli [tex]x\approx 12892,18[/tex]zł.
Pani Kowalska powinna więc wpłacić 12892,18 zł.
Zad. 3. Syn państwa Kowalskich podwoi swoje pieniądze po 15 latach. Będzie miał wtedy [tex]100\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^{15}\approx 207,89[/tex]zł. Natomiast po 14 latach będzie miał dopiero [tex]100\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^{14}\approx 197,99[/tex]zł.
Zad. 1. Pan Kowalski po 3 latach zgromadzi na lokacie [tex]1000 \cdot \left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{3\cdot 12}\approx 1127,27[/tex]zł, więc jego zarobek wyniesie 1127,27-1000=127,27 zł.
Zad. 2. Pani Kowalska powinna złożyć na lokacie x zł, która to kwota spełnia zależność:
[tex]20000=x\cdot\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{12\cdot 6}[/tex], zatem [tex]\frac{20000}{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{12\cdot 6}}=x[/tex], czyli [tex]x\approx 15738,84[/tex]zł.
Pani Kowalska powinna więc wpłacić 15738,84 zł.
Zad. 3. Syn państwa Kowalskich podwoi swoje pieniądze po 17 latach i 5 miesiącach (czyli po 209 miesiącach). Będzie miał wtedy [tex]1\cdot\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{12\cdot 17+5}\approx 2,0047[/tex]wyjściowej kwoty, natomiast po 17 latach i 4 miesiącach będzie miał dopiero [tex]1\cdot\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{12\cdot 17+4}\approx 1,998[/tex]wyjściowej kwoty.
Zad. 1. Efektywne stopy procentowe wynoszą odpowiednio
[tex]\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{12}-1\approx 0,0407[/tex] oraz [tex]\left(1+\frac{0,04}{365}\right)^{365}-1\approx 0,0408[/tex].
Zad. 2. Nominalną stopę procentową x obliczymy tak:
[tex]1250=1000\cdot\left(1+\frac{x}{12}\right)^{12\cdot 3}[/tex], zatem [tex]\left(\left(\frac{1250}{1000}\right)^{\frac{1}{36}}-1\right)\cdot 12=x[/tex], czyli [tex]x\approx 0,0746[/tex]. Efektywna stopa procentowa wynosi [tex]\left(1+\frac{0,0746}{12}\right)^{12}-1\approx 0,0772[/tex].
Zad. 3. Syn państwa Kowalskich może osiągnąć taki wynik po roku, przy nominalnej stopie procentowej wynoszącej 10%, przy kapitalizacji godzinowej (odsetki są doliczane co godzinę). Mamy wtedy 24·365 = 8760 okresów, po których doliczane są odsetki.
