Główny Urząd Statystyczny (GUS) podaje co kwartał dane o przeciętnym wynagrodzeniu miesięcznym w Polsce. Na przykład w I kwartale 2010 roku wynosiło ono 3316,38 zł. W jaki sposób GUS wyliczył tę kwotę?
W uproszczeniu przeciętne wynagrodzenie jest obliczane następująco:$$ \frac{\text{suma wszystkich wypłaconych w danym okresie wynagrodzeń}}{\text{liczba osób zatrudnionych w danym okresie}}, $$ czyli jest to dobrze znana średnia arytmetyczna. Matematycy wiedzą jednak, że nie jest ona dobrym wskaźnikiem przeciętnych zarobków, bo zazwyczaj zawyża wyniki. Dzieje się tak dlatego, że duży wpływ na poziom średniego wynagrodzenia mają bardzo wysokie zarobki niewielkiej grupy ludzi (czasem określa się to zjawisko nazwą „kominy płacowe”). Dlatego średnia płaca jest przez wiele osób krytykowana jako miara statystyczna. W jej miejsce matematycy proponują stosować medianę, czyli wartość środkową. Jak się ją wyznacza?
Wyobraźmy sobie, że ustawiamy w szeregu wszystkich pracowników w kolejności wysokości zarobków (jeśli zarabiają tyle samo, ustawiamy ich np. alfabetycznie). Następnie wybieramy osobę, która znalazła się w środku takiej kolejki i wysokość jej wynagrodzenia przyjmujemy za wskaźnik średniego wynagrodzenia (jeśli w kolejce ustawiono parzystą liczbę osób, są dwie osoby środkowe i wtedy bierzemy średnią arytmetyczną ich płac). Mediana ma zatem taką wartość, że tyle samo osób ma zarobki poniżej i powyżej tej liczby. Mediana jest odporna na tak zwane dane odstające (czyli np. na bardzo wysokie zarobki niewielu osób).
Można używać jeszcze jednego wskaźnika średniej płacy. Jest nim dominanta, nazywana też modą. Jest to wartość, która w naszej kolejce zatrudnionych występuje najczęściej. Dominanta mówi o tym, jaka jest wysokość wynagrodzenia pobieranego przez największą grupę osób.
W małej firmie ogrodniczej „Nie przesadzaj” dwaj pracownicy zarabiają miesięcznie 1000 zł i 2000 zł a dwaj inni po 1500 zł. Prezes firmy zarabia 4000 zł.
Zadanie 1. Jakie jest średnie wynagrodzenie oraz mediana i dominanta pensji w tym przedsiębiorstwie?
Zadanie 2. Ile musiałby zarabiać prezes, żeby mediana oraz średnia arytmetyczna miesięcznych zarobków były równe?
Zadanie 3. Jak zmienią się poszczególne wskaźniki średniej płacy, jeśli 50-procentową podwyżkę pensji otrzyma prezes, a jak, jeśli otrzyma ją najmniej zarabiający pracownik?
Poniższa tabela przedstawia zestawienie miesięcznych zarobków pracowników zakładu przetwórstwa warzywnego „Groch z kapustą”.
| pensja w zł | liczba osób |
| 1 500 |
16 |
| 1 800 |
14 |
| 2 000 |
8 |
| 2 500 |
6 |
| 3 900 |
3 |
| 8 100 |
2 |
| 11 900 |
1 |
Zadanie 1. Jakie jest średnie wynagrodzenie oraz mediana i dominanta pensji w tym przedsiębiorstwie?
Zadanie 2. Zarząd firmy stanowi sześć osób z najwyższymi zarobkami. Gdyby wszyscy jego członkowie mieli jednakowe zarobki, to ile musiałyby one wynosić, żeby mediana i średnia arytmetyczna zarobków w firmie były jednakowe?
Zadanie 3. Jak zmienią się poszczególne wskaźniki średniej płacy, jeśli 20-procentową podwyżkę pensji otrzyma zarząd, a jak, jeśli otrzyma ją najmniej zarabiająca grupa pracowników?
Ze względu na ochronę danych osobowych zarobki pracowników w osiedlowym hipermarkecie „Mydło i powidło” zostały zebrane w szereg przedziałowy w celu ukrycia szczegółów personalnych.
| przedział zarobków w zł | liczba osób |
| [1 000 - 2 000) |
32 |
| [2 000 - 3 000) |
10 |
| [3 000 - 4 000) |
5 |
| [4 000 - 5 000) |
0 |
| [5 000 - 6 000) |
2 |
| [6 000 - 7 000] | 1 |
Zadanie 1. Jakie jest przybliżone średnie wynagrodzenie oraz mediana pensji w tym hipermarkecie? Czy posiadając dodatkową wiedzę, że w hipermarkecie 16 osób zarabia 1500 zł, możemy podać, ile wynosi dominanta zarobków?
Wskazówka: W celu obliczenia przybliżonej średniej arytmetycznej przyjmij za wartość zarobków w danej grupie środek odpowiedniego przedziału. W celu obliczenia przybliżonej mediany przyjmij, że pensje w obrębie przedziału, w którym leży mediana, są liniową funkcją kolejnych numerów osób z tego przedziału.
Zadanie 2. Kierownictwo hipermarketu stanowią trzy osoby z najwyższymi zarobkami. Gdyby miały one jednakowe zarobki, to ile musiałaby wynosić ich pensja, żeby mediana i średnia arytmetyczna zarobków w hipermarkecie były jednakowe?
Zadanie 3. Jak zmienią się poszczególne wskaźniki średniej płacy, jeśli 50-procentową podwyżkę pensji otrzyma kierownictwo hipermarketu, a jak, jeśli 20% obniżka pensji dotknie najmniej zarabiającą grupę pracowników?
Wojciech Antoszczyszyn Wielki Komorsk, Alicja Baranowska SP 28 Wałbrzych, Angelika Bień Jakubów, Adriana Chachura SP 5 Żory, Anna Decker SP 107 Wrocław, Iga Domowicz SP 28 Wałbrzych, Kacper Duszeńko Radwanice, Dominik Frankowski Radwanice, Ewa Gapińska SP 4 Wągrowiec, Adam Gawlik SP 28 Wałbrzych, Anna Górska SP 2 Olesno, Szymon Guzik SP 28 Wałbrzych, Wojciech Hebisz SP 8 Oława, Michał Kałapus Radwanice, Dominik Kliński Łagoszów Wielki, Kacper Kliński Łagoszów Wielki, Jan Kulbiński SP 53 Wrocław, Tomasz Kuśmierczyk SP 24 Wrocław, Kacper Kwas Radwanice, Filip Lebiodzik SP 15 Wrocław, Joanna Lisiowska KSP Warszawa, Anna Lojza SP 5 Żory, Anna Łeń SP 111 Łódź, Klaudia Miśkiewicz SP 19 Wrocław, Martyna Musiał SP 15 Opole, Alicja Niedośpiał Radwanice, Julia Pawlińska Bielany Wrocławskie, Barbara Piasecka Oleśnica, Aleksandra Piasecka Oleśnica, Weronika Pinda SP 28 Wałbrzych, Mikołaj Piotrowski SP 24 Wrocław, Alicja Pogorzelska Komorowice, Jan Równicki SP 10 Tarnowskie Góry, Mateusz Rzepecki SP 91 Wrocław, Ewa Sadowska Jakubów, Krzysztof Staszak SP 107 Wrocław, Hubert Szczepanik SP 11 Inowrocław, Tomasz Terlikowski Radwanice, Mateusz Tkacz Sieroszowice, Andrzej Turko SSP Optimum Wrocław, Ewa Załupka SP 15 Wrocław, Wiktoria Zdon Truskolasy, Tomasz Zwoliński SP 1 Bogatynia, Paulina Żelasko SP 28 Wałbrzych
Krzysztof Bednarek GM 13 Wrocław, Antonina Biela Rożniątów, Daria Bumażnik GM 1 Jelenia Góra, Jakub Gronowski GM 14 Wrocław, Karolina Krzykawiak GM 19 Wrocław, Mateusz Miękus GM 1 Oborniki, Adrianna Motyka GM 26 Wrocław, Kamil Muca GM 2 Wodzisław Śląski, Bartłomiej Polcyn Mogilno, Magdalena Zielonka Borek Strzeliński, Michał Żłobicki GM 1 Wrocław
Niestety żaden z uczestników ligi nie uzyskał maksymalnej liczby punktów. Najlepszym wynikiem było 2,5 pkt Katarzyny Kolanek I LO Ostrówek.
Wszystkim serdecznie gratulujemy! W sumie w październiku wpłynęło ponad 150 rozwiązań, z tego ponad 70 w SP, ponad 50 w GIM i ponad 30 w LO.
Zad. 1. Średnie wynagrodzenie wynosi 2000 zł, mediana 1500 zł i dominanta też 1500 zł.
Zad. 2. Mediana nie zmieni się, niezależnie od wysokości zarobków prezesa. Aby mediana i średnia arytmetyczna zarobków były równe, prezes musiałby zarabiać 1500 zł, bo dla x=1500 zachodzi równość [tex]1500=\frac{1000+1500+1500+2000+x}{5}[/tex].
Zad. 3. Jeśli 50% podwyżkę otrzyma prezes, to średnia arytmetyczna, mediana i dominanta wyniosą odpowiednio: 2400 zł, 1500 zł i 1500 zł. Jeśli 50% podwyżkę otrzyma najmniej zarabiający pracownik, to średnia arytmetyczna, mediana i dominanta wyniosą odpowiednio: 2100 zł, 1500 zł i 1500 zł.
Zad. 1. Średnie wynagrodzenie wynosi 2400 zł, mediana 1800 zł, a dominanta 1500 zł.
Zad. 2. Mediana nie zmieni się, niezależnie od wysokości zarobków zarządu. Aby mediana i średnia arytmetyczna zarobków były równe, każdy członek zarządu musiałby zarabiać 1633,33 zł, bo dla x=1633,3... zachodzi równość [tex]1800=\frac{80200+6x}{50}[/tex].
Zad. 3. Jeśli 20% podwyżkę otrzyma zarząd, to średnia arytmetyczna, mediana i dominanta wyniosą odpowiednio: 2559,20 zł, 1800 zł i 1500 zł. Jeśli 20% podwyżkę otrzyma najmniej zarabiająca grupa pracowników, to średnia arytmetyczna, mediana i dominanta wyniosą odpowiednio: 2496 zł, 1800 zł i 1800 zł.
Zad. 1. Średnia arytmetyczna wynosi 2160 zł, mediana 1781,25 zł i obliczamy ją jako [tex]1000+\frac{2000-1000}{32}\left(\frac{50}{2}-0\right)[/tex]. Dominanty nie da się jednoznacznie określić, możliwe są bowiem dwie sytuacje: 1) jest jedna dominanta równa 1500 zł, jeśli pozostałe 16 osób w pierwszym przedziale ma różne zarobki, 2) są dwie dominanty, jeśli pozostałe 16 osób z pierwszego przedziału ma jednakowe zarobki różne od 1500 zł.
Zad. 2. Nie jest możliwa taka sytuacja. Dopiero przy "ujemnych zarobkach" kierownictwa (równych około -479,17 zł) otrzymamy równość średniej arytmetycznej i mediany.
Zad. 3. Przy 50% podwyżce dla kierownictwa średnia arytmetyczna wyniesie 2335 zł, a mediana nie zmieni się i wyniesie 1781,25 zł. Nie można określić, czy zmieni się dominanta, ani wyznaczyć jej dokładnej wartości, chociaż w matematyce istnieją metody przybliżonego wyznaczania dominanty dla takich danych. Przy 20% obniżce dla najmniej zarabiających średnia arytmetyczna wyniesie 1968 zł, mediana 1425 zł, a dominanty znowu nie da się wyznaczyć dokładnie.
