kwiecień 2008

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-17

Zad. 1. Którędy poprowadzić przez tarczę zegara linię prostą, tak by suma numerów godzin po jednej i po drugiej jej stronie były takie same?

Zad. 2. Rozpatrzmy 1001 liczb:

1,

1+2,

1+2+3,

1+2+3+4,

...

1+2+3+...+999,

1+2+3+...+1000,

1+2+3+...+1001.

Ile z nich jest parzystych?

Zad. 3. Plastry miodu zbudowane są z sześciokątnych komórek. Na rysunku przedstawiono sześciokątny plaster o "boku" długości 3 takich komórek. Składa się on z 19 komórek. Z ilu komórek składałby sie taki plaster o boku 10 komórek?

 

Wyniki: 

Poprawne rozwiązania wszystkich zadań kwietniowych nadesłali:
Marek Kaczmarczyk z SP 3 w Ścinawie, Kacper Kadys z SP 107 we Wrocławiu, Łukasz Kajdan z SP 82 w Poznaniu, Lilla Łomnicka z SP 3 w Ścinawie, Karol Mazurek z SP w Skokach, Michał Radwański z Poznańskiej Ogólnokształcącej Szkoły Muzycznej I stopnia nr 1, Aleksandra Samol z SP w Skokach, Jadwiga Słowik z SP 34 w Gdyni, Bartłomiej Szymański z SP w Skokach, Marcin Witkowski z SP 107 we Wrocławiu, Zbigniew Zabłocki z SP 3 w Ścinawie.

Gratulujemy!

W klasyfikacji ogólnej prowadzą (na 21 możliwych punktów):
Jadwiga Słowik z SP 34 w Gdyni (19 pkt.), Łukasz Kajdan z SP 82 w Poznaniu (19 pkt.), Marek Kaczmarczyk z SP 3 w Ścinawie (18 pkt.), Lilla Łomnicka z SP 3 w Ścinawie (17 pkt.), Anna Zarobnik z SP 3 w Ścinawie (14 pkt.), Weronika Feliszek z SP 3 w Ścinawie (13 pkt.), Rafał Andrachiewicz z SP 3 w Ścinawie (12 pkt.), Marcin Cichuta z SP 3 w Ścinawie (11 pkt.).

 

Odpowiedzi: 

Zad. 1. Pogrupujmy wszystkie numery godzin do łatwiejszego sumowania: 1+12 + 2+11 + 3+10 + 4+9 + 5+8 + 6+7 = 6·13, zatem po każdej stronie prowadzonej prostej ich suma ma wynosić 3·13 = 39, a że trzy pierwsze pary (1 i 12, 2 i 11, 3 i 10) znajdują się w górnej połowie tarczy, można je po prostu oddzielić. Inaczej podzielić się nie da, bo liczba 12:

  •  nie może być po jednej stronie z dziewiątką (wówczas byłoby tam co najmniej 12+11+10+9=42),
  • jeśli jest z dziesiątką, mamy rozwiązanie opisane powyżej,
  • jeśli z lewej strony tarczy ma być tylko z jedenastką, z prawej nie da się dobrać numerów, tak by suma ich wszystkich wyniosła 39,
  • podobnie jeśli do 12 należałoby dodawać tylko liczby z prawej połowy tarczy.

Zad. 2. Dane liczby to kolejno 1, 3, 6, 10, 15, ... Zauważmy, że pierwsza z nich jest nieparzysta, następna jest większa o liczbę parzystą, czyli też nieparzysta, kolejna większa o nieparzystą, czyli parzysta, następna większa o parzystą, czyli też parzysta, następna z kolei jest o nieparzystą większa od ostatniej parzystej i potem sytuacja się powtarza. Kolejno mamy więc: niep., niep., parz., parz., niep., niep., parz., parz. itd. Cykl powtarza się co 4 liczby, czyli do tysiąca składników dokładnie połowa liczb jest parzysta, a potem dochodzi jedna nieparzysta z nowego cyklu. Odpowiedź to zatem 500.

Zad. 3. Zauważmy, że plaster opisany w zadaniu można uzyskać, zaczynając od pojedynczej komórki miodu i dokładając komórki wokół niej, potem wokół powstałej w ten sposób pierwszej warstwy itd., aż warstw będzie 9. W kolejnych warstwach dokładamy 6 komórek, 12, 24 itd. (zawsze umieszczamy je "pomiędzy" każdymi dwiema z poprzedniej warstwy).
W rezultacie będzie ich więc 1+6+6·2+6·3+...+6·9 = 1+6·(1+2+3+...+9) = 1+6·45 = 271.

 

Powrót na górę strony