Zad. 1. W Dekadencji, niewielkim państwie Półwyspu Arytmetycznego, kalendarz zbudowano w oparciu o system dziesiętny. Rok ma tysiąc dni i podzielony jest na 10 miesięcy, a każdy miesiąc ma 10 dekad. Obywatele Dekadencji, tak jak my, co rok obchodzą urodziny. Właśnie jeden z nich skończył 17 lat. Czy był to młodzieniec, łysiejący pan w średnim wieku czy sędziwy staruszek? Podaj datę urodzenia i oblicz, ile lat miesięcy i dekad miałbyś 1 VII 2023 według dekadenckiego kalendarza.
Zad. 2. Językowy palindrom to wyraz lub zdanie, które brzmi tak samo czytane wprzód i wspak. Jaki jest najdłuższy palindrom w języku polskim? Kto jest jego autorem?
Zad. 3. Matematyczny palindrom to liczba, która wygląda tak samo czytana wprzód i wspak. Ile wielokrotności trójki ma zapis w systemie czwórkowym będący 21-cyfrowym palindromem?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Szymon Meyer analityk danych z Dziewkowic,
- 2 pkt. - Krystyna Lisiowska redaktor z Warszawy, Andrzej Piasecki specjalista IT z Oleśnicy,
- 1,5 pkt. - Agata Centkowska informatyk z Biela.
Zad. 1. Człowiek w wieku 17 lat dekadenckich ma 17 000 dni, czyli 46 lat i 2 miesiące bez dwóch dni.
Zad. 2. Autorem najdłuższego w języku polskim palindromu jest Tadeusz Morawski. Utwór ma palindromiczny tytuł Żartem w metraż i liczy 33 tysiące liter. Oczywiście zakładamy tu, że językowy palindrom musi mieć jakiś sens. Józef Godzic - twórca algorytmu pozwalającego na utworzenie ponad stu bilionów palindromów - skomponował palindrom składający się z luźno powiązanych wyrazów i liczący 200 001 liter.
Zad. 3. Podzielność liczby przez 3 jest w systemie czwórkowym równoważna temu, że „suma cyfr” zapisu czwórkowego tej liczby dzieli się przez 3, bo 4 ≡ 1 (mod 3), więc 4n ≡ 1 (mod 3) dla wszystkich n naturalnych - podobnie jak w systemie dziesiątkowym. Zatem np. liczba o zapisie czwórkowym abcdefg, czyli g + f·4 + e·42 + d·43 + c·44 + b·45 + a·46 przystaje do g+f+e+d+c+b+a (mod 3). Zapis czwórkowy liczby opisanej w zadaniu możemy tworzyć, wybierając jako pierwszą jej cyfrę 1, 2 lub 3, jako cyfry od drugiej do dziesiątej 0, 1, 2 lub 3, następnie odbijać je symetrycznie na pozycje od dwunastej do ostatniej i wreszcie wstawiając jako jedenastą cyfrę tę gwarantującą podzielność przez 3. Jeśli suma cyfr od pierwszej do dziesiątej dzieli się przez 3, to również suma wszystkich poza jedenastą dzieli się przez 3, więc na jedenastej pozycji może być 0 albo 3, w przeciwnych wypadkach zawsze jest tylko jedna możliwość wyboru 11. cyfry (niepodzielna przez 3 suma cyfr od pierwszej do dziesiątej pomnożona przez 2 daje liczbę niepodzielną przez 3, czyli dającą resztę 1 lub 2, a w obu tych wypadkach spośród cyfr systemu czwórkowego tylko jedna da sumę podzielną przez 3). Wszystkich układów początkowych dziesięciu cyfr jest 3·49. Aby otrzymać odpowiedź do zadania, trzeba doliczyć (zliczając je w efekcie podwójnie) te układy, które są zapisami czwórkowymi podzielnych przez 3 liczb ze zbioru [1 000 000 0004, 3 333 333 3334]. Jest ich (3 333 333 333 – 333 333 333)4 / 3 (bo dzielna jest wielokrotnością trójki) = 49. Odpowiedzią jest zatem 4·49 = 410 = (210)2 = 10242 = (1000+24)2 = 1000000+48000+576 = 1048576.
