Zad. 1. 31 V 2022 na Politechnice w Eidhoven Willem Bouman podjął udaną próbę pobicia rekordu w pamięciowym obliczaniu pierwiastka sześciennego z liczby 36-cyfrowej na czas. Obliczenie dokładnej wartości (718237 140592 542803 123253 912561 466729) ^ (1/3) zajęło mu 8 minut i 46 sekund. Jak otrzymać ten wynik za pomocą kalkulatora prostego o 12-cyfrowym wyświetlaczu?
Zad. 2. Używając kalkulatora (lub nie), rozwiąż równanie x2+x+11 = y2 w parach liczb całkowitych.
Zad. 3. Ile kosztuje podatników roczna edukacja jednego ucznia w Polsce? Podaj przyjęte założenia i przeprowadzone rachunki.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 2,25 - Andrzej Piasecki - administrator IT z Oleśnicy,
- 1,75 - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy.
Zad. 1. Oto możliwy schemat postępowania. Dla uproszczenia opisu zakładamy, że kalkulator wyciąga pierwiastki stopnia 3. Na kalkulatorze prostym, który ma tylko operację wyciągania pierwiastka kwadratowego, można to osiągnąć, korzystając (jak?) z poniższej zależności.
Skoro pierwiastkowana liczba jest rzędu 1036, to wynik pierwiastkowania powinien być 12-cyfrowy. Niech wynosi on a·108+b·104+c, gdzie a, b, c są 4-cyfrowe. Wyciągamy pierwiastek sześcienny z liczby 12-cyfrowej (718237 140592)^(1/3) i otrzymujemy dokładne pierwsze cztery cyfry wyniku a=8455, bo 89553 = 718119 583875 < 718237 140592 < 718360 186816 = 89563. Mamy (8955·108+b·104+c)3 = 718237 140592 542803 123253 912561 466729 = 89553·1024 + 3·89552·1016·(b·104+c) + 3·8955·108·(b·104+c)2+(b·104+c)3, skąd po obustronnym odjęciu liczby 89553·1024 otrzymujemy 117 556717 542803 123253 912561 466729 = 3·89552·1016·(b·104+c)+3·8955·108·(b·104+c)2+(b·104+c)3 = 1020·3a2b + 1016·(3a2c+3ab2) + ...
Teraz możemy łatwo obliczyć b, gdyż (zapominając o ostatnich 20 cyfrach) mamy 1 175567 175428 ≈ 3a2b oraz 3a2= 240 576075, zatem b = 4886. Wiemy już, że 3a2b = 1 175454 702450, co odejmujemy od poprzedniej liczby (po uzupełnieniu 20 zerami), otrzymując 11247 297803 123253 912561 466729 = 1016·(3a2c+3ab2) + ..., skąd możemy analogicznie obliczyć c. Zapominamy o 16 końcowych cyfrach i mamy 1 124729 780312 ≈ 3·89552c + 641384 037540, skąd c= 2009. Ostateczny wynik pierwiastkowania to 895 548 862 009.
Zad. 2. Rozwiązanie to: {(10, 11), (10, -11), (-11, 11), (-11, -11)}. Do odczytania tych liczb można wykorzystać kalkulator graficzny, przesuwając się po wykresie funkcji y = √(x2+x+11) narysowanym z rozdzielczością 1. Można też wykorzystać arkusz kalkulacyjny, obliczający wartość √(x2+x+11) dla kolejnych liczb całkowitych z zakresu (-n, n) i badając całkowitość otrzymanego wyniku. Równanie można też rozwiązać algebraicznie, przekształcając je do postaci równoważnej:
x2+x+1/4 + 43/4 = y2 ↔ (x+1/2)2 – y2 = -43/4 ↔ (2x+1)2 – (2y)2 = -43 ↔
(2y)2 – (2x+1)2 = 43 ↔ (2y+2x+1)(2y–2x+1) = 43.
Teraz wystarczy wykorzystać fakt, że 43 jest liczbą pierwszą, zatem może być otrzymana jako iloczyn liczb całkowitych na dwa sposoby 1·43 lub (-1)·(-43) z dokładnością do kolejności czynników. Dokonując odpowiednich podstawień, otrzymujemy wszystkie pary spełniające warunki zadania i wiemy, że innych par nie ma.
Zad. 3. Oto możliwy schemat obliczeń. Należy uwzględnić:
- koszt zatrudnienia nauczycieli
Rozważmy statystycznego ucznia, który uczy się w 25-osobowej klasie i ma w planie 30 godzin lekcyjnych tygodniowo (6 lekcji dziennie). Przyjmijmy, że pensum nauczyciela wynosi 20 godzin tygodniowo, więc do przeprowadzenia zajęć w tej klasie potrzeba 1,5 statystycznego nauczyciela. Najniższa stawka wynagrodzenia zasadniczego nauczyciela z pełnym przygotowaniem zawodowym o najwyższym stopniu awansu zawodowego wynosi od maja 2022 roku 4224 zł miesięcznie (z dodatkami socjalnymi, za wysługę lat itp. przyjmijmy 5000 zł brutto). Po doliczeniu kosztów pracodawcy (ZUS i inne) to daje ok. 9000 zł. Roczna pensja (z wakacjami) wypłacana dla 1,5 nauczyciela wynosi więc 1,5·13·9000 = 175 500 zł, co w przeliczeniu na jednego ucznia w klasie daje 7020 zł.
- koszt pracy administracji i obsługi szkoły
Załóżmy, że na każdą klasę w szkole wypada jeden etat nienauczycielski (księgowość, sekretarki, sprzątaczki, dyrekcja, pedagodzy i psycholodzy). Niech średni koszt jednego etatu to 4000 zł miesięcznie brutto wraz ze świadczeniami, czyli 7200 zł z kosztami pracodawcy. Rocznie daje to 13·7200 = 93 600 zł, a na jednego ucznia w klasie 3744 zł. - koszt utrzymania budynku szkoły (w tym opłacenie mediów)
Załóżmy, że taki koszt dla niedużej szkoły liczącej 24 klasy (8 roczników po 3 klasy lub 4 roczniki po 6 klas) wynosi 20 000 zł miesięcznie, czyli 240 000 rocznie, co na jednego ucznia daje 400 zł rocznie. - koszt utrzymania aparatu administracji oświatowej (ministerstwo, kuratoria, programy edukacyjne finansowane centralnie itp.)
Zgodnie z zapisem ustawy budżetowej na rok 2022 po pominięciu centralnej subwencji oświatowej (wliczonej już we wcześniejsze punkty) na wydatki edukacyjno-oświatowe wypada 488 167 000 zł. W tym roku szkolnym w szkołach naukę pobierało ok. 4,9 mln dzieci. Na jednego ucznia daje to kwotę ok. 100 zł.Razem daje to: 7020+3744+400+100 = 11 264 zł.
Innym sposobem było wzięcie rocznej subwencji oświatowej MEN wynoszącej w 2022 roku 53 325 538 000 zł, uwzględnienie, że pokrywa ona ok. 57% kosztów utrzymania szkół (resztę pokrywają samorządy z lokalnych podatków), które wynoszą wobec tego 93 553 575 440 zł, co na jednego ucznia daje 19 092 zł, a wraz z kosztem administrowania centralnego 19 192 zł.
Obie metody wskazują, że koszt rocznej edukacji jednego ucznia to kilkanaście tysięcy zł.
