Prostokąt

Data ostatniej modyfikacji:
2008-12-25
Autor: 
Grzegorz Słaboń
student matematyki UWr
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna

Definicja:
Prostokąt to płaski czworokąt równokątny (tzn. ma przystające wszystkie kąty wewnętrzne).

Oznaczenie:
ABCD (czytaj: prostokąt o wierzchołkach A, B, C, D)

Elementy składowe prostokąta:

  • punkty A, B, C i D to wierzchołki prostokąta,
  • odcinki AB, BC, CD i DA to boki prostokąta,
  • odcinki AC i BD to przekątne prostokąta,
  • łamana zamknięta ABCDA to brzeg prostokąta,
  • długość dłuższego boku to długość prostokąta,
  • długość krótszego boku to szerokość prostokąta.

Konstrukcja:

sposób 1
sposób 2
krok:
krok:

Definicje alternatywne:

  • równoległobok o przekątnych równej długości,
  • równoległobok o przystających kątach wewnętrznych,
  • równoległobok, na którym można opisać okrąg,
  • równoległobok symetryczny względem odcinka łączącego środki przeciwległych boków,
  • trapez prostokątny równoramienny,
  • trapez symetryczny względem linii środkowej (tzn. odcinka łączącego środki ramion).

Przykłady:

  • prostokąt wpisany w okrąg,
  • w układzie współrzędnych czworokąt o wierzchołkach: A =(0,0), B=(1,0), C=(1,2), D=(0,2),
  • w układzie współrzędnych rozwiązanie układu nierówności .

Kontrprzykłady:

  • równoległobok, którego kąty nie są proste,
  • trapez prostokątny, którego ramiona nie są przystające,
  • prostopadłościan - nie jest wielokątem,
  • pierścień prostokątny.

Własności:

  • na każdym prostokącie można opisać okrąg,
  • środkiem okręgu opisanego na prostokącie jest punkt przecięcia przekątnych,
  • w każdy prostokąt można wpisać elipsę,
  • prostokąt o przystających bokach to kwadrat,
  • w prostokąt można wpisać okrąg tylko wtedy, gdy jest on kwadratem,
  • prostokąty szczelnie wypełniają płaszczyznę (tworzą parkietaż) i to na wiele sposobów,
  • cecha przystawania prostokątów: (bb) - sąsiednie boki są przystające,
  • cecha podobieństwa prostokątów: (b/b) - stosunek długości sąsiednich boków jest stały,
  • prostokąt można rozciąć na części, z których można ułożyć nowy prostokąt (jest nieskończenie wiele takich możliwości),
  • prostokąt można rozciąć na nieprzystające kwadraciki,
  • prostokąt ma dwie osie symetrii - łączące środki przeciwległych boków,
  • prostokąt NIE MA środka symetrii.

Związki miarowe:

W prostokącie o bokach długości a i b mamy:

  • pole P = ab,
  • obwód O = 2a + 2b = 2(a+b),
  • przekątna d = ,
  • kąt wewnętrzny = 90°,
  • suma kątów wewnętrznych wynosi 360°,
  • suma kątów zewnętrznych wynosi 360°,
  • promień okręgu opisanego R = .

Historia:

  • Prostokąt był znany od dawien dawna i wykorzystywany np. w architekturze jako baza wielu budowli. Również działki ziemi wytyczano w kształcie prostokąta.
  • Wzór na pole prostokąta (iloczyn długości sąsiednich boków) był znany i stosowany już przez Babilończyków w V tysiącleciu p.n.e. i w starożytnym Egipcie w III tysiącleciu p.n.e.
  • Euklides w swoim dziele Elementy z IV w. p.n.e. podaje, że prostokąt to czworobok mający kąty proste, ale nierówne boki. Również irański matematyk Al-Kaszi w dziele Klucz arytmetyki z 1427 roku w części dotyczącej czworokątów wyróżnia prostokąty jako te o równych kątach i nierównych bokach.

Terminy pokrewne:

  • prostokątny układ współrzędnych,
  • rzut prostokątny,
  • prostokąt złoty,
  • prostokąt normalny,
  • prostokąt łaciński.

Bibliografia:

  • Euklides, Elementy, http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
  • red. W. Mizerski, Tablice matematyczne, Adamantan, Warszawa 2002.
  • Ian Stewart, Histerie matematyczne. Gry i zabawy z matematyką, Prószyński i S-ka, Warszawa 2007.
  • W. Więsław, Matematyka i jej historia, Nowik, Opole, 1997.

Powrót na górę strony