Wrocławski Konkurs Matematyczny (IX)

Data ostatniej modyfikacji:
2014-01-26
Autor: 
Jolanta Lazar
nauczycielka w Gimnazjum nr 9 we Wrocławiu
Organizator: 

Wrocławskie Centrum Doskonalenia Nauczycieli
ul. Swobodna 73a, 50-089 Wrocław
tel. 71 796 45 60

www.wcdn.wroc.pl

 

Terminy: 

zgłoszenia: do 7 lutego 2014
I etap 12 lutego 2014
II etap 7 marca 2014
III etap 4 kwietnia 2014
uroczyste zakończenie 9 maja 2014

 

Jest to konkurs przedmiotowy dla gimnazjalistów, wskrzeszony po wieloletniej przerwie. Honorowy patronat nad nim objął Dolnośląski Kurator Oświaty. Jak rzadko w którym konkursie zadania ze wszystkich etapów mają charakter otwarty, co wymaga wykazania się umiejętnościami poprawnego argumentowania i zapisu matematycznego. Wyłaniani są laureaci I, II i III stopnia, którzy otrzymują nagrody podczas uroczystej gali.

Wymagany zakres wiedzy
1. Treści zawarte w podstawie programowej z matematyki
2. Treści wykraczające poza podstawę programową z matematyki:

  • wzory skróconego mnożenia,
  • liczby niewymierne, usuwanie niewymierności,
  • geometryczna interpretacja układu równań,
  • kąt środkowy i kąt wpisany,
  • prostopadłość i równoległość w przestrzeni

 

Historia: 

Inicjatorem Wrocławskich Konkursów Matematycznych był nieżyjący już nauczyciel matematyki, założyciel firmy JERSZ - Łowcy Talentów - Zdzisław Słomian. Konkursy organizowane były od 1975 r. dla uczniów klas VII i VIII szkół podstawowych (poziom dzisiejszego gimnazjum), a od 1986 r. także dla klas V i VI szkół podstawowych. Obejmowały początkowo szkoły dawnego województwa wrocławskiego, a od 1988 r. rozszerzono ich zasięg o trzy pozostałe dolnośląskie województwa (jeleniogórskie, wałbrzyskie i legnickie), uzupełniając trzy etapy o finał międzywojewódzki. Trwało to do roku 2000. W roku szkolnym 2000/2001 konkurs odbył się w nowej formule i zakończony był wspólnym finałem z Dolnośląskim Konkursem Matematycznym "Zdolny Ślązak Gimnazjalista". Potem nastąpiła kilkuletnia przerwa, po której druga edycja miała miejsce w roku 2006/2007.

 

Skrót regulaminu: 
  • Na stronie internetowej organizatora umieszczana jest lista zadań przygotowawczych (w tym z poprzednich edycji).
  • Na każdym z etapów do rozwiązania jest 6 zadań otwartych w czasie 120 minut. Za rozwiązanie każdego uczeń może zdobyć do 6 punktów.
  • Etap szkolny odbywa się w macierzystej szkole, a prace są poprawiane przez jej nauczycieli wg punktacji przesłanej przez organizatora.
  • W ciągu 6 dni od daty konkursu do organizatora przesyłany jest protokół zawierający dane uczniów, którzy uzyskali ponad 60% punktów, a gdy takich nie ma - dane ucznia, który otrzymał najwyższą liczbę punktów w szkole.
  • Na podstawie sprawozdań komisja konkursowa ustala listę uczestników II etapu. Próg 60% może zostać obniżony lub podwyższony w granicach 3 punktów. Lista zakwalifikowanych publikowana jest w Internecie.
  • Finaliści konkursu otrzymają dyplomy, natomiast laureaci konkursu dyplomy i nagrody rzeczowe.

 

Przykładowe zadania: 

Etap I

1. Cenę sukienki obniżono na wyprzedaży o 20%. Zmniejsza to zysk sprzedawczyni do 4% w stosunku do ceny, jaką za nią zapłaciła. Iluprocentowy zysk miała ona ze sprzedaży tej sukienki przy jej normalnej cenie?

2. Przedstaw liczbę 10983 jako sumę dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza jest podzielna przez 5, a druga powstaje z niej przez skreślenie ostatniej cyfry.

3. Jacek patrzy na wieżowiec z okna budynku znajdującego się po drugiej stronie ulicy. Podstawę wieżowca widzi pod kątem 30°, a dach pod kątem 45° do poziomu. Budynek obserwuje z wysokości 9 m nad poziomem ulicy. Jaka jest wysokość wieżowca?

Etap II

1. Różnica kwadratów dwóch liczb naturalnych wynosi 2007. Jakie liczby spełniają ten warunek?

2. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n wyrażenie (n3 - n)(n2 - 4) jest wielokrotnością 60.

3. Zegar na wieży kościelnej w Bajkowicach spóźnia się 4 minuty na godzinę. Kościelny nastawił go na właściwą godzinę 4 godziny temu. Za 12 minut trębacz zagra z wieży hejnał wyznaczający godzinę 12.00. O której godzinie zegar w Bajkowicach wybije godzinę 12.00?

Etap III

1. W trójkącie równoramiennym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy. Suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest równa 11. Jaki jest obwód tego trójkąta?

2. W trapezie równoramiennym przekątne o długości 12 cm przecinają się w punkcie S pod kątem 30°. Punkty K, L, M, N są środkami boków trapezu. Jakie jest pole czworokąta KLMN?

3. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p2 - 6q2 = 1.

 

Jak zrobić?

Jak zrobić zadanie 3 z etapu III?

Oto rozwiązanie

Mamy p2-1=6q2, czyli (p-1)(p+1)=6q2. Stąd wynika, że p musi być nieparzyste, bo prawa strona jest parzysta, oraz że q=2, bo lewa strona równania jest podzielna przez 4, czyli q musi być parzyste. Stąd lewa strona to 24, zatem p2=25 i p=5.

Jak zrobić zadanie?

Jak zrobić zadanie 3 z etapu II?

Łatwe rachunki

Skoro zegar nastawiono 4 godziny temu, była wtedy za 12 ósma. Po 4 godzinach zegar nabrał 16 minutowego opóźnienia, więc w tej chwili jest na nim za 28 dwunasta. Południe będzie za 12 minut, gdy na zegarze będzie za 16 dwunasta. Jednak w czasie 28 minut do wybicie południa zegar nabierze dodatkowej minuty spóźnienia (bo późni się minutę na kwadrans), zatem wybije południe o godz. 12:17.

A jak 2?

A jak zrobić 2 z etapu II?

Trzeba rozłożyć

Wystarczy rozłożyć (n3-n)(n2-4) ze wzorów skróconego mnożenia kolejno na:
n(n2-1)(n2-4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).

To jest iloczyn kolejnych 5 liczb naturalnych, zatem musi być wśród niej jakaś podzielna przez 5, przez 4 i przez 3, co daje iloczyn podzielny przez 60.

Powrót na górę strony