Dlaczego nie można dzielić przez zero?

Rzec by można: pytanie stare, jak świat. Uczniowie zadają je od pokoleń. A na dodatek nie jest prawdą, że przez zero dzielić nie można. To tylko kwestia wprawy i matematycznego doświadczenia.

To trochę tak, jak z odejmowaniem liczby większej od mniejszej, albo z wyciąganiem kwadratowego pierwiastka z liczby ujemnej. Początkowo mówimy uczniom, że zrobić się tego nie da, a potem, gdy już wiedzą z matematyki więcej, okazuje się, że jednak da się bez żadnych przeszkód. Z dzieleniem przez zero jest i trochę podobnie, ale i trochę inaczej.

W liczbach naturalnych nie można odjąć większej liczby od mniejszej (nie istnieje naturalny wynik takiego działania, spełniający prawa działań), ale gdy wprowadzimy liczby całkowite, takie działanie jest wykonalne. W liczbach rzeczywistych nie można wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z (-1), ale gdy wprowadzimy liczby zespolone, można wyciągnąć go bez problemu.

Podobnie w liczbach naturalnych i rzeczywistych nie można wykonać dzielenia przez zero, bo przecież z definicji dzielenia jeśli a : b = c, to c · b = a, zatem gdyby np. 3:0 = n, to musiałoby tez być n·0 = 3, a tej własnosci nie ma ani żadna liczba naturalna, ani rzeczywista.

Jednak w uogólnionych (matematycy mówią uzwarconych) liczbach rzeczywistych (tzn. z dołączoną nieskończonością) dzielenie przez 0 wykonuje się be problemu, np. 1:0 = ∞, √2 : 0 = ∞, -17:0 = -∞.
Jest jednak nadal jeden wyjątek: nie można wykonać dzielenia 0 : 0, a raczej można, tylko wynik tego dzielenia może za każdym razem wyjść inny (tzn. takie dzielenie jest wykonalne, ale jego wynik nie jest jednoznacznie zdefiniowany).

Ilustrują to wyniki dzieleń ciągów, gdy weźmiemy je w granicy (czyli gdy ciąg z mianownika osiąga zero). Inaczej mówiąc, liczbę zero definiujemy jako klasę abstrakcji ciągów zbieżnych do zera - analogicznie definiujemy wszak w matematyce każdą liczbę rzeczywistą (definicja Cauchy'ego).

Mamy zatem:

• {1} : {1/n} w granicy daje ∞.

Podobnie jest dla dowolnej stałej c≠0 i dowolnego zbieżnego do zera ciągu c_n:

• {c} : (1/c_n) w granicy daje ∞.

Inaczej jest, gdy w miejsce dzielnej wstawimy zero lub ciąg, który osiąga zero w granicy, np.:

• {0} : (1/n) w granicy daje 0 (bo to ciąg stale równy 0),
• {1/n} : {1/n} w granicy daje 1 (bo to ciąg stale równy 1),
• {2/n} : {1/n} w granicy daje 2 (bo to ciąg stale równy 2) itd.
• {1/n} : {-1/n} w granicy daje (-1) (bo to ciąg stale równy -1),
• {1/n} : {-2/n} w granicy daje (-2) (bo to ciąg stale równy -2) itd.
• {1/n} : {1/n²} w granicy daje ∞ (bo to ciąg {n}),
• {1/n} : {-1/n²} w granicy daje (-∞) (bo to ciąg {-n}).

Kazde z tych dzieleń w granicy reprezentuje działanie 0 : 0 i każde daje inny wynik. Widać, że można uzyskać w ten sposób wszystkie wyniki od ujemnej do dodatniej nieskończoności. To dlatego wynik dzielenia 0:0 nie jest jednoznacznie zdefiniowany, choć przecież w każdym z powyższych przypadków to działanie było wykonalne.

Można myśleć, że w matematyce istnieje nie jedno zero, ale wiele zer, że zera mogą być różnych rodzajów: mocne i słabe, podobnie jak mocne i słabe mogą być nieskończoności. Wynik działań na różnych zerach/nieskończonościach zależy od tego, jakie mocne są one w porównaniu ze sobą nawzajem.