Miniatury matematyczne dla GM

To seria książek zawierających minieseje matematyczne opracowane z myślą o uczestnikach popularnego miedzynarodowego konkursu Kangur matematyczny. Ich tematyka dotyczy pojęć i twierdzeń spoza programu nauczania, więc mogą zainteresować także starszych uczniów i dorosłych miłośników matematyki. Mogą być też pomysłem na tematy projektów edukacyjnych, uczniowskich prac badawczych z matematyki, seminariów uczniowskich lub obozów naukowych, gdyż ich głównym celem jest rozwijanie zainteresowań matematyką i pogłębianie wiedzy w tym zakresie.

W każdej z książek sformułowano i udowodniono w sposób przystępny dla ucznia wiele ciekawych twierdzeń mających korzenie w matematyce szkolnej, ale wykraczających daleko poza program nauczania. Nowe pojęcia i fakty zilustrowano wieloma przykładami. Niektóre tematy zawierają też zadania wraz z rozwiązaniami.

Co rok wydawana jest jedna książka z tej serii. Ich numeracja nie jest ciągła, gdyż obejmuje także pozycje dla SP i LO. Poniżej zamieszczamy szczegółowe opisy poszczególnych książek. Zestawienie to będziemy systematycznie uzupełniali o kolejne pozycje.

Miniatura 7. Od Archimedesa do...

Książka zawiera krótkie biogramy kilkudziesięciu światowej sławy matematyków, począwszy od Talesa z Miletu, a skończywszy na współczesnym amerykańskim naukowcu Paulu Cohenie. Poza tym opisano sylwetki sześciu największych matematyków polskich (Śniadeckiego, Banacha, Sierpińskiego, Steinhausa, Kuratowskiego i Sikorskiego) oraz czterech matematyków toruńskich (Jaśkowskiego, Łosia, Sąsiadę i Jeśmanowicza). Wybrano też czterech matematyków wszechczasów (Archimedesa, Newtona, Eulera i Gaussa) i dokładniej opisano ich dokonania naukowe. Na końcu książki zamieszczono ciekawostki geometryczne - pojęcia nazwane nazwiskami matematyków (np. prosta Simsona, punkt Torricellego, twierdzenie Morleya, liść Kartezjiusza czy owale Cassiniego).   

Miniatura 16. Dowody i rozwiązania bez słów. Działania na potęgach

Pierwszy esej zaczyna seria zadań na dowodzenie równości pól różnych figur (do samodzielnego rozwiązania). Następnie przedstawione są geometryczne dowody twierdzenia Pitagorasa, nierówności między średnimi oraz wielu innych tożsamości algebraicznych. Podano też przykłady zadań, których rozwiązanie upraszcza zastosowanie metody geometrycznej. Druga część jest z kolei zbiorem zadań dotyczących porównywania liczb podanych w formie różnych wyrażeń arytmetycznych, np. ułamków zwykłych i łańcuchowych, potęg, sum i iloczynów, wyrażeń pierwiastkowych itp. Niektóre z nich są skomplikowane i ich porównanie wymaga użycia sprytnych metod. Większość zadań podano z rozwiązaniami, część pozostawiono do samodzielnej pracy, podając do nich jedynie odpowiedzi.

Miniatura 19. Drzewa i kody binarne ułamków. Liczby pierwsze na straży naszych tajemnic. Co mają funkcje wielomianowe do słuchania muzyki

Książka pokazuje jak twierdzenie matematyczne w połączeniu z metodami informatycznymi pozwalają na rozwiązywanie problemów praktycznych. Pierwszy esej przedstawia zastosowanie drzew do zapisywania i zapamiętywania liczb wymiernych w postaci zero-jedynkowej. Drugi pokazuje przykład systemu szyfrowania z tzw. publicznym kluczem i klasyczne twierdzenia z teorii liczb, na których system ten się opiera. Trzeci esej pokazuje zastosowania funkcji wielomianowych do cyfrowego zapisu dźwięku wysokiej jakości.

Miniatura 22. Twierdzenie o wypełnianiu prostokątów. Problem czterech barw. Średnie liczbowe i nierówności

Pierwszy esej poświęcony jest historii twierdzenia o czterech barwach, które mówi, że każdą mapę można pokolorować czterema kolorami, tak aby graniczące państwa były różnokolorowe. Od czasu jego sformułowania do podania satysfakcjonującego większość matematyków dowodu minęło 140 lat. Drugi tekst dotyczy problemu podziału prostokąta na mniejsze prostokąty i związków między długościami boków tychże prostokątów. W dowodach wykorzystano metody z różnych działów matematyki. Szczególnie zaskakujące jest tu użycie teorii grafów. W ostatniej części zdefiniowano różne średnie liczbowe, podano dowody zachodzących między nimi nierówności oraz ich interpretacje geometryczne.

Miniatura 25. Kąty w kole. O podziale odcinka na równe części. Dłuu...ugie liczby

Bohaterami pierwszego eseju są kąty wpisane i środkowe oraz wielokąty wpisane w okrąg. Sformułowano w nim także twierdzenie Ptolemeusza i twierdzenie o potędze punktu względem okręgu. W artykule jest sporo przykładowych rozwiązanych zadań oraz takich do samodzielnego rozwiązania. Drugi artykuł poświęcono różnym metodom konstrukcyjnego podziału odcinka na równe części oraz na części pozostające w stosunkach zadanych przez kolejne liczby Fibonacciego. Ostatni tekst zajmuje się zabawnymi własnościami liczb złożonych z dziewiątek i zer albo trójek, szóstek i dziewiątek, odkrywamy jak można porównywać liczby o długich zapisach dziesiętnych lub badać ich podzielność. Zaskakuje to, że wiele takich problemów można rozwiązać elementarnie, bez najmniejszej pomocy kalkulatora lub komputera.

Miniatura 28. Fraktale w Cindirelli. Ile jest liczb? Słów kilka o wielokątach foremnych

Pierwszy tekst poświęcony jest fraktalom, czyli figurom samopodobnym, a dokładniej ich konstruowaniu w programie graficznym Cinderella (pol. Kopciuszek). Pokazano w nim wiele znanych przykładów fraktali. Drugi tekst stanowi zbiór zadań dotyczących znajdowania wszystkich liczb o zadanej własności lub zliczania, ile ich jest. Do wszystkich podano rozwiązania. Z ostatniego eseju dowiadujemy się, które wielokąty foremne są konstruowalne, a które nie. Poznajemy też konstrukcję foremnego pięcio-, dziesięcio- i piętnastokąta. 

Miniatura 31. Wielokąty z symetriami. Zliczanie rekurencyjne. Wokół twierdzenia Pitagorasa

Pierwszy tekst omawia własności symetrii osiowej i środkowej w klasie wielokątów, w tym trójkątów, czworokątów i wielokątów foremnych. Sformułowane są warunki konieczne i dostateczne istnienia każdej z tych symetrii. Podano szkice dowodów podstawowych twierdzeń oraz omówiono niuanse definicyjne różnych typów czworokątów. Z kolei rekurencja jest podstawowym narzędziem pracy programisty. Nawet skomplikowane obliczenia i złożone procedury można wykonać metodą małych, powtarzalnych kroków. Jak działa rekurencja pokazano na przykładzie liczb Fibonacciego i liczb figuralnych, obliczania liczby podzbiorów danego zbioru i zliczania ścieżek w grafie. Na końcu zamieszczono zadania do samodzielnego rozwiązania. Ostatni tekst poświęcony jest figuralnej wersji twierdzenia Pitagorasa (na bokach trójkąta budujemy figury podobne), przestrzennej analogii klasycznego twierdzenia Pitagorasa (zamiast trójkąta rozważamy czworościan prostokątny) oraz księżycom Hipokratesa (powstają, gdy wielokąt wpisujemy w okrąg).

Miniatura 34. Ułamki łańcuchowe. O sposobach sortowania. Sangaku, czyli coś z Japonii

Ułamki łańcuchowe chociaż nie są używane na co dzień mają zastosowanie w matematyce, informatyce i technice. Pojęcie to zilustrowane jest wieloma przykładami, badamy m.in. rozwinięcie liczby złotej i jego związek z liczbami Fibonacciego oraz liczby pi. W tekście znajduje się wiele zadań, do których na końcu podano rozwiązania. Algorytmy sortujące są pojęciem z pogranicza matematyki i informatyki. Poznajemy proste przykłady takich algorytmów i możliwe ich ulepszenia. Ostatni esej dotyczy elementarnej geometrii. Sangaku to japońska nazwa zadań geometrycznych dotyczących okręgów znajdujących się w relacjach z innymi figurami (prostymi, wielokątami lub kołami). W artykule rozwiązano wiele przykładowych zadań tego typu.