|
Rysunki utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty. W zadaniach 1-4 wystarczy wiedza z gimnazjum. W zadaniach 7 i 9 potrzebna jest trygonometria. |
Niech będzie dany trójkąt równoboczny. Wyznaczamy trzy najmniejsze koła zawierające ten trójkąt o środkach w wierzchołkach tego trójkąta. Część wspólna tych kół tworzy figurę zwaną trójkątem Reuleaux [czytaj: relo'] od nazwiska niemieckiego inżyniera Franza Reuleaux, teoretyka budowy maszyn.
Trójkąt Reuleaux ma ciekawą własność, jest przykładem figury o stałej szerokości, to znaczy:
to odstęp między nimi będzie stały, niezależny od kierunku tych prostych.
Na powyższym rysunku znajdziesz wskazówki pomocne w rozwiązaniu poniższego zadania.
Zadanie 1. Trójkąt Reuleaux zbudowany na trójkącie równobocznym o boku a=1 ma:
a) obwód równy
a / 6 =
b) pole równe
c) promień koła opisanego równy
d) promień koła wpisanego równy
Zauważmy jeszcze, że suma kątów trójkąta Reuleaux jest równa
Część wspólna trzech kół o środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a i jednakowych promieniach R > a nie jest figurą o stałej szerokości. Jednak wystarczy 'zaokrąglić' jej 'naroża' i otrzymamy uogólniony trójkąt Reuleaux, figurę o stałej szerokości równej 2R-a.
Jak należy 'zaokrąglać naroża'? Zobaczysz to na poniższym rysunku (suwak [wycinki]).
Można też zobaczyć, że figurę wyznacza 'wirujący patyk'.
Zadanie 2. Dla uogólnionego trójkąta Reuleaux o promieniach R=1,5 zbudowanego na trójkącie równobocznym o boku a=1 zachodzi:
a) obwód jest równy
b) pole jest równe
c) promień koła opisanego jest równy
d) promień koła wpisanego jest równy
Zadanie 3. Czy figura będąca częścią wspólną trzech kół o promieniach równych 
/2, o środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku 1, ma stałą szerokość?
Popatrzmy, jak trójkąt Reuleaux toczy się (bez poślizgu) po prostej. W czasie toczenia zmienia się jego 'najwyższy' punkt, ale jest stale na tej samej wysokości. Tę własność ma każda figura o stałej szerokości.
Popatrzmy na trajektorie pewnych punktów trójkąta Reuleaux,
tzn. na linie, jakie kreślą w czasie ruchu.
Poniższe zadania dotyczą powyższego rysunku.
Zadanie 3P. Dla trójkąta Reuleaux zbudowanego na trójkącie równobocznym o boku a=1, trajektoria punktu P składa się z:
fragmentów cykloid,
z łuków okręgów o promieniu . . . . . . i długości . . . . . .,
i z odcinków o długości . . . . . ..
Zadanie 3Q. Dla trójkąta Reuleaux zbudowanego na trójkącie równobocznym o boku a=1, trajektoria punktu Q składa się z: fragmentów uogólnionych cykloid i
z dwóch rodzajów łuków okręgów:
jedne o promieniu . . . . . . i długości . . . . . .,
drugie o promieniu . . . . . . i długości . . . . . ..
Zadanie 3S. Dla trójkąta Reuleaux zbudowanego na trójkącie równobocznym o boku a=1, trajektoria punktu S składa się z fragmentów uogólnionych cykloid i
z łuków okręgów o promieniu . . . . . . i długości . . . . . .,
Uwaga. Dla uogólnionego trójkąta Reuleaux o promieniach R, zbudowanego na trójkącie równobocznym o boku a < R zachodzi:
- trajektoria punktu P nie zawiera łuków żadnych okręgów ani odcinków,
- trajektoria punktu Q nie zawiera łuków żadnych okręgów ani odcinków,
- trajektoria punktu S nie zawiera łuków żadnych okręgów ani odcinków.
Niech będzie dany n-kąt foremny, gdzie n jest liczbą nieparzystą. Wyznaczamy n najmniejszych kół zawierających ten n-kąt, o środkach w wierzchołkach tego n-kąta. Część wspólna tych kół tworzy figurę, którą nazwiemy n-kątem Reuleaux.
Zadanie 4. Czy figura będąca częścią wspólną 4 kół o środkach w wierzchołkach kwadratu o boku 1 i promieniach równych 
ma stałą szerokość?
Zadanie 5. Pięciokąt Reuleaux zbudowany na pięciokącie foremnym o boku a=1 ma:
a) stałą szerokość równą . . . . . . ,
b) obwód równy . . . . . . ,
c) pole równe . . . . . . ,
d) promień koła opisanego równy . . . . . . ,
e) promień koła wpisanego równy . . . . . . .
Wskazówka. Przekątna pięciokąta foremnego o boku a ma długość d =
/2 ).
Zadanie 6. Dla pięciokąta Reuleauxa zbudowanego na pięciokącie foremnym o boku a=1,
P) trajektoria punktu P składa się z fragmentów uogólnionych cykloid i
z łuków okręgów o promieniach . . . . . . i długościach . . . . . .,
i z odcinków o długości . . . . . ..
Q) trajektoria punktu Q składa się z fragmentów uogólnionych cykloid i
z łuków okręgów o promieniach . . . . . . i długościach . . . . . .,
S) trajektoria punktu S składa się z fragmentów uogólnionych cykloid i
z łuków okręgów o promieniach . . . . . . i długościach . . . . . .,
Zadanie 7. n-kąt Reuleaux zbudowany na n-kącie foremnym o boku a=1 (n nieparzyste) ma:
a) stałą szerokość równą . . . . . . ,
b) obwód równy . . . . . . ,
c) pole równe . . . . . . ,
d) promień koła opisanego równy . . . . . . ,
e) promień koła wpisanego równy . . . . . . .
Część wspólna n kół (n nieparzyste) o jednakowych promieniach R, o środkach w wierzchołkach n-kąta foremnego, zawierających we wnętrzach ten n-kat, nie jest figurą o stałej szerokości. Jednak wystarczy 'zaokrąglić' jej 'naroża' i otrzymamy uogólniony n-kąt Reuleaux, figurę o stałej szerokości.
Jak należy 'zaokrąglać naroża'? Zobaczysz to na poniższym rysunku (suwak [wycinki]).
Można też zobaczyć, że figurę wyznacza 'wirujący patyk'.
Zadanie 8. Uogólniony pięciokąt Reuleaux o promieniach R=3, zbudowany na pięciokącie foremnym o boku a=1 ma:
a) stałą szerokość równą . . . . . . ,
b) obwód równy . . . . . . ,
c) pole równe . . . . . . ,
d) promień koła opisanego równy . . . . . . ,
e) promień koła wpisanego równy . . . . . . .
Wskazówka. Przekątna pięciokąta foremnego o boku a ma długość d =
Zadanie 9. Uogólniony n-kąt Reuleaux o promieniach R, zbudowany na n-kącie foremnym o boku a < R (n nieparzyste) ma:
a) stałą szerokość równą . . . . . . ,
b) obwód równy . . . . . . ,
c) pole równe . . . . . . ,
d) promień koła opisanego równy . . . . . . ,
e) promień koła wpisanego równy . . . . . . .
O bryłach o stałej szerokości piszemy w tekście Trójkąty Reuleaux 3D. Zajrzyj tam koniecznie.
Rowery Reuleaux
Ze względu na stałą szerokość wielokąty Reuleaux można wykorzystać jako "koła" rowerowe lub samochodowe. Oto kilka przykładów.