Taniec środka masy

Gdy Maciej i Wojtek - dwa ślimaki winniczki - biegną stałym tempem v_M = 1 m/s v_W = 2 m/s po 60 centymetrowej bieżni, obserwowanie ich ruchu nie jest aż tak bardzo pasjonujące (porównaj z zadaniami z tekstu W koło Macieju).

Gdy jednak zapytamy, jak porusza się środek ich mas, to zaczyna się prawdziwa zabawa.
Gdy oba ślimaki ważą tyle samo, środek ich mas pokrywa się ze środkiem S odcinka (wirtualnego) łączącego ich aktualne pozycje. Podczas przemieszczania się ślimaków ten punkt(nazwijmy go S) wykreśla fascynujące linie.
Zobacz! (Przesuń suwak 'pokaz', zmieniaj tempa biegu.)

 

 

Ciekawie wygląda przypadek v_M = 2 m/s v_W = 5 m/s. W pierwszej chwili można odnieść wrażenie, że linia ta składa się z fragmentów kilku okręgów. Jednak tak nie jest. Zbadanie własności tych linii wymaga trochę bardziej zaawansowanych metod matematycznych.

Zajmijmy się prostszym przypadkiem. Zmienimy kształt bieżni. Niech będzie ona brzegiem n-kąta foremnego (też o długości 60 metrów).

 

 

Widać, że linia wykreślana przez środek S odcinka MW jest łamaną - składa się z kilku odcinków.
Uzasadnienie tego stwierdzenia opiera się na twierdzeniu:

odcinki łączące środki przeciwległych boków czworoboku połowią się (patrz Tw. 1a z Równoległościan? Może tak, może nie...). Nie będziemy tu wchodzić w szczegóły rozumowania.
Zajmijmy się kształtem tej łamanej i jej długością.

 

Proponujemy kilka zadań. Zakładamy stale, że Maciej i Wojtek biegną przez minutę stałym tempem.

ZADANIE 1.   (bieżnia = brzeg kwadratu)
Jaką drogę przebędzie środek S w ciągu 60 sekund, gdy

a)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 2 m/s,

b)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 3 m/s,

b)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 5 m/s.

 

ZADANIE 2.   (bieżnia = brzeg sześciokąta foremnego)
Jaką drogę przebędzie środek S w ciągu 60 sekund, gdy

a)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 2 m/s,

b)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 3 m/s,

b)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 4 m/s.

 

ZADANIE 3.   (bieżnia = brzeg trójkąta foremnego)
Naszkicuj trasę, jaką przebędzie środek S w ciągu 60 sekund, gdy

a)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 2 m/s,

b)   Maciej biegnie 1 m/s, a Wojtek biegnie 4 m/s,

b)   Maciej biegnie 2 m/s, a Wojtek biegnie 4 m/s.

 

ZADANIE 4.   (bieżnia = brzeg -kąta foremnego)
Czy doga przebyta przez S jest średnią (arytmetyczną) dróg przebytych przez Macieja i Wojtka?

 

---

 

Jeszcze ciekawiej robi się, gdy waga Macieja i Wojtka nie są równe. Wtedy środek S ich mas nie jest środkiem odcinka MW, lecz punktem tego odcinka, dzielącym go w stosunku takim, jak stosunek ich mas.
Zobacz, jak ten stosunek wpływa na kształt linii zakreślanej przez S (suwak 'SM/MW').

 

 

Gdy zamiast ruchu po okręgu rozważać będziemy ruch po brzegu n-kąta foremnego (o obwodzie 60 m), to linia wykreślana przez S jest łamaną, składa się z kilku odcinków. Kształt tej łamanej zależy od stosunku SM/MW. Zobacz.

 

 

ZADANIE 5.   (bieżnia = brzeg kwadratu)
Jaką drogę przebędzie środek S w ciągu 60 sekund, gdy

a)   v_M = 1 m/s , v_W = 3 m/s i SM / MW = 0,25 ,

b)   v_M = 1 m/s , v_W = 2 m/s i SM / MW = 1/3 ,

b)   v_M = 2 m/s , v_W = 3 m/s i SM / MW = 0,4 .

 

ZADANIE 6.   (bieżnia = brzeg trójkąta foremnego)
Naszkicuj trasę, jaką przebędzie środek S w ciągu 60 sekund, gdy

a)   v_M = 1 m/s , v_W = 2 m/s i SM / MW = 0,2 ,

b)   v_M = 1 m/s , v_W = 2 m/s i SM / MW = 1/3 ,

c)   v_M = 1 m/s , v_W = 3 m/s i SM / MW = 0,25 ,

d)   v_M = 1 m/s , v_W = 3 m/s i SM / MW = 0,4 ,

e)   v_M = 1 m/s , v_W = 4 m/s i SM / MW = 0,2 ,

f)   v_M = 1 m/s , v_W = 4 m/s i SM / MW = 1/3 ,

g)   v_M = 1 m/s , v_W = 5 m/s i SM / MW = 1/6 ,

h)   v_M = 2 m/s , v_W = 3 m/s i SM / MW = 0,25 ,

i)   v_M = 2 m/s , v_W = 3 m/s i SM / MW = 0,4 ,