Równoległościan? Może tak, może nie...

Jest takie piękne twierdzenie (piękne nie tylko dlatego, że się rymuje):

TWIERDZENIE 1.   Środki boków czworoboku są wierzchołkami równoległoboku.

Dwa odcinki czerwone są równoległe do tego dorysowanego (dlaczego?);
więc i do siebie nawzajem.

Pozostałe dwa czerwone

Ten sam (niemal) dowód ma twierdzenie:

TWIERDZENIE 1a.    Odcinki łączące środki przeciwległych boków czworoboku połowią się nawzajem.

Tak jest dlatego, że równoległobok to czworobok, w którym są dwie pary boków równoległych, albo równoważnie, że to czworobok, w którym przekątne połowią się nawzajem.

Ten sam dowód ma też twierdzenie:

TWIERDZENIE 2. W czworościanie wybierzmy dowolne dwie pary krawędzi skośnych. Środki tych krawędzi są wierzchołkami równoległoboku.

Nie trzeba nowego dowodu, wystarczy pomyśleć o rysunku, że jest przestrzenny, że czarne linie są krawędziami czworościanu i powtórzyć słowo w słowo poprzedni dowód (sprawdź!).

Poniższe stwierdzenie powstało z zamiany pewnych słów w sformułowaniu twierdzenia 1.

STWIERDZENIE 3.   Środki krawędzi czworościanu są wierzchołkami równoległościanu.

Czy to stwierdzenie jest prawdziwe? Może TAK, może NIE?

Może TAK, bo widać, że te środki wyznaczają bryłę, w której ściany są parami równoległe, analogicznie do boków równoległoboku.

Oj to niedobry argument; w sześciokącie foremnym boki też są parami równoległe, a nie nazywamy go równoległobokiem (a właściwie dlaczego?).

Zatem raczej NIE, bo widać, że ta bryła ma sześć wierzchołków, a równoległościan ma wierzchołków osiem.

Oj, to niedobry argument, bo przecież w powyższym stwierdzeniu 3. nie ma mowy o tym, że to mają być wszystkie wierzchołki równoległościanu. Może da się dobrać jakieś dwa punkty, aby razem z tymi sześcioma dawały wszystkie wierzchołki równoległościanu?

Zatem pewnie TAK, gdy znajdziemy takie punkty.

Aby lepiej to zobaczyć, przesuń czarne punkty tak, by utworzyć czworościan odcięty z naroża sześcianu.

I TAK, i NIE? No to jak w końcu jest? TAK, czy NIE? Czy stwierdzenie 3. jest twierdzeniem?

Masz dalej wątpliwości? To dobrze. Ktoś powiedział: 'nauka, to wątpienie'.

Zamiast dalej roztrząsać powstałe wątpiwości, przyglądnijmy się ciekawej bryle, która nam się tu wyłoniła - czerwonemu wielościanowi W wyciętemu z czworościanu C :

Zadanie 0.  Wielościan W ma: ścian, wierzchołków i krawędzi.

Zadanie 1.  Łączna długość krawędzi wielościanu W jest łącznej długości krawędzi czworościanu C. Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 2.  Pole powierzchni W jest pola powierzchni C. Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 3.  Objętość W jest objętości C. Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 4.  Uzasadnij, że przekątne W przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 5.  Uzasadnij, że punkt przecięcia przekątnych W połowi każdą z nich.

Zadanie 6^*.   Czy wielościan W jest środkowosymetryczny? A czy jest osiowosymetryczny?

Zadanie 7^*.   Niech czworościan C ma wszystkie krawędzi długości 1.
a) Oblicz promień sfery opisanej na wielościanie W.
b) Oblicz promień sfery wpisanej w wielościan W.

Na deser. Czy jest prawdziwe poniższe stwierdzenie?

STWIERZDENIE 4.   Środki ścian czworościanu są wierzchołkami równoległościanu.

Może też: 'I tak, i nie' ?