Rosną kule w czworościanie foremnym

Przykłady brył 'rosnących' w czworościanie foremnym można zobaczyć w artykule Wianuszki 3D w czworościanie foremnym. Z kolei kule 'rosnące' w sześcianie opisaliśmy w artykule Rosną kule w sześcianie. Zajrzyj tam koniecznie!
Tutaj będziemy 'hodowali' kule w czworościanie foremnym. Zobacz, jak wyglądają, i rozwiąż kilka zadań.
Uwaga.
Zamieszczone w tekście podpowiedzi (ii) są niemal odpowiedziami.
Nie zaglądaj do nich za wcześnie, aby nie zepsuć sobie zabawy.
 
Wszystko się będzie działo w czworościanie foremnym ABCD o krawędziach długości a = 1. Warto przypomnieć, że wysokości takiego czworościanu mają długość a ^. /3, a ich punkt przecięcia dzieli każdą z nich w stosunku 1:3 (patrz Sześcian w czworościanie foremnym).

Zadanie 1.   W czworościanie foremnym o krawędzi a = 1 'rosną' w jednakowym tempie 4 kule, po jednej przy każdym wierzchołku. Każda startuje z innego wierzchołka, a potem rośnie w głąb czworościanu, 'opierając' się stale na trzech ścianach schodzących się w tym wierzchołku.
Kule przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U₁.

  a)   Wyznacz długość promieni kul układu U₁.

  b)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku czworościanu, która mieści się pomiędzy kulami układu U₁ (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).

  c)   W U₁ każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C₁ oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C₁ jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C₁. Oblicz pole powierzchni C₁ .

Zadanie 2.   W czworościanie foremnym o krawędzi a = 1 'rosną' w jednakowym tempie 4 kule, po jednej przy środku każdej ściany. Każda startuje od środka innej ściany, a potem rośnie w głąb czworościanu, 'trzymając' się stale środka tej ściany.
Kule przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U₂.

  a)   Wyznacz długość promieni kul układu U₂.

  b)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku czworościanu foremnego, która mieści się pomiędzy kulami układu U₂ (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).

  c)   W U₂ każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C₂ oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C₂ jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C₂. Oblicz pole powierzchni C₂ .

Zadanie 3.   W czworościanie foremnym o krawędzi a = 1 'rośnie' w jednakowym tempie 6 kul, po jednej przy środku każdej krawędzi. Każda startuje od środka innej krawędzi, a potem rośnie w głąb czworościanu, 'opierając' się stale na dwóch ścianach przylegających do tej krawędzi.
Przestają rosnąć, gdy dotkną innych kul. Ten finalny układ nazwijmy U₃.

  a)   Wyznacz długość promieni kul układu U₃.

  b)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku czworościanu foremnego, która mieści się pomiędzy kulami układu U₃ (tzn. jest styczna zewnętrznie do każdej z kul układu).

  c)   W U₃ każda kula styka się z sąsiednimi. Niech C₃ oznacza wielościan wyznaczony przez wszystkie punkty styczności kul (tzn. C₃ jest najmniejszą bryłą wypukłą zawierającą wszystkie punkty styczności kul).
Podaj liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu C₃. Oblicz pole powierzchni C₃ .

Jednak prawdziwe wyzwanie, to Kule w ośmiościanie foremnym. Spróbuj swoich sił!