Kule osadzone w ośmiościanie foremnym są wyzwaniem dla miłośników geometrii. Zobacz, jak wyglądają, i rozwiąż kilka zadań.
Wszystko będzie się działo w ośmiościanie foremnym ABCDEF
o krawędziach długości a = 1.
Warto zauważyć, że można przyjąć:
A(a/, 0, 0),
B(0, a/, 0),
C(-a/, 0, 0),
D(0, -a/, 0),
E(0, 0, a/),
F(0, 0, -a/),
albo
A(a/2, a/2, 0),
B(-a/2, a/2, 0),
C(-a/2, -a/2, 0),
D(a/2, -a/2, 0),
E(0, 0, a/),
F(0, 0, -a/).
Zadanie (1).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul.
b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Zadanie (2).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul. b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Zadanie (3).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul. b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Do dalszej lektury zapraszamy tych Czytelników, którzy rozwiązali chociaż jeden podpunkt któregoś z powyższych zadań
Zgrabne rozwiązanie powyższych zadań oparte jest
na dwóch obserwacjach.
Można pomyśleć, że kule z zadań (1), (2), (3) 'wyrosły' tak, że
ich 'nasionka' włożono:
(1) w wierzchołki ośmiościanu,
(2) w środki ścian ośmiościanu,
(3) w środki krawędzi ośmiościanu.
Potem je 'podlewano', więc rosły i rosły, wpychane w głąb ośmiościanu przez jego ściany.
Rosły tak do momentu, gdy miały miejsce, czyli do chwili, gdy spotkały się z innymi kulami.
'Filmy dokumentujące 'hodowlę' kul z zadań (1), (2), (3).
A teraz najważniejsze.
Wyobraźmy sobie, co by było, gdyby kule rosły dalej,
gdyby nie zatrzymało ich wzrostu spotkanie z innymi kulami,
gdyby się przenikały nawzajem, gdyby jedyną barierą dla nich były ściany ośmiościanu.
Poniższe 'filmy' pokazują taki właśnie wzrost pojedynczej kuli.
0.05
0.05
0.05
A tak wyglądałby wzrost wszystkich kul.
0.05
0.05
0.05
W każdym przypadku kule rosną tak długo, aż pokryją się z kulą K wpisaną w ośmiościan ABCDEF.
Puszczając te 'filmy' w drugą stronę, zauważamy kluczową sprawę.
Kule z zadań (1), (2), (3) są kopiami (obrazami) kuli K,
utworzonymi przez jednokładności o środkach w:
(1) wierzchołkach ośmiościanu,
(2) w środkach ścian ośmiościanu,
(3) w środkach krawędzi ośmiościanu.
(Przy czym w poszczególnych zadaniach: (1), (2), (3),
jednokładności mają tą samą skalę.)
Dalej potrzebna jest jeszcze jedna obserwacja.
Styczność kul opisanych w zadaniach (1), (2), (3) ilustruje poniższy rysunek, w którym zbadamy tylko jedną (dowolną) parę takich kul:
- punkty S', S'' są środkami dwóch stycznych kul o (nieznanym) promieniu x,
- punkt O jest środkiem kuli K wpisanej w ośmiościan (r oznacza promień K),
- punkty P', P'' są środkami jednokładności dla tych kul (tam 'zasadzono' te kule), czyli
w zadaniu (1) są to pewne dwa sąsiednie wierzchołki ośmiościanu,
w zadaniu (2) są to środki dwóch sąsiadujących ścian ośmiościanu,
w zadaniu (3) są to środki dwóch boków pewnej ściany ośmiościanu.
skala0.55
Z własności jednokładności mamy:
x / r = P'S' / P'O .
Styczność kul daje nam:
x / P'M = S'O / P'O .
Prawe strony sumują się do 1, czyli
x / r + x / P'M = 1 ,
skąd
x = 1 /
( 1/r + 1/P'M ) .
Ostatecznie:
x = 1 / ( 1/r + 2/P'P'' ) ,
Ten wzór jest już właściwie rozwiązaniem podpunktów a) powyższych zadań.Wystarczy bowiem obliczyć r i w poszczególnych zadaniach znaleźć P'P'' (co zostawiamy Czytelnikowi).
Podpunkty b) też można rozwiązać jednym wzorem, patrząc na powyższy rysunek (co również zostawiamy Czytelnikowi).
1 IV zmarł pierwszy polski arcymistrz szachowy Włodzimierz Szmidt. Miał 80 lat. Urodził się w 1943 w Poznaniu, debiutował na olimpiadzie szachowej w 1962. Reprezentował kraj na 14 olimpiadach i 7 razy zdobył tytuł Mistrza Polski. Cześć jego pamięci!
Problem miesiąca
1 IV Kowalski wchodzi do sklepu i kupuje obraz za 150 zł. Na drugi dzień przychodzi z zamiarem wymiany obrazu. Oddaje poprzedni i wybiera inny za 300 zł, po czym nie płacąc wychodzi. Właściciel zatrzymuje go, lecz Kowalski oświadcza: Jesteśmy kwita. Wczoraj zostawiłem Panu 150 zł, a dziś – obraz za 150 zł. Razem 300 zł. Kto ma rację i dlaczego??
W kwietniu we Wrocławiu odbędzie się finał XXI Olimpiady Lingwistyki Matematycznej. Zakwalifikowano do niego 12 zawodników z Wrocławia, z liceów ogólnokształcących: nr III (6 osób), nr XIV (3 osoby), nr V (2 osoby) i ALO PWr (1 osoba).
Przy okrągłym stole ma usiąść 2023 matematyków. Każdy z nich ma dokładnie 1000 wrogów. Czy można tak usadzić matematyków przy stole, by żaden nie siedział bezpośrednio obok swojego wroga?
Dynamiczne modele Nikolaja Andreeva pozwalające poglądowo przybliżać zagadnienia matematyczne na wszystkich szczeblach nauczania dostępne są (do darmowego wykorzystania) na stronie Etiud matematycznych.
, 0, 0),
B(0, a/
Zadanie (1).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). 
Zadanie (2).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
Zadanie (3).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
