MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

Kulą w... stożek

Data ostatniej modyfikacji:
2012-07-11
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
precalculus
geometria przestrzenna

Rozważmy kulę o środku O i promieniu R oraz stożek o promieniu i wysokości R.
Oś stożka WW' jest styczna do sfery (do powierzchni kuli) w wierzchołku W.
Jak wygląda część wspólna kuli i stożka?

Szczególnie ciekawa jest linia L będąca przecięciem powierzchni tych brył. Co to za linia?
Zobaczmy.

 

Rysunek dynamiczny - można obracać (aplet www.javaview.de/) -

Widoki:        

 

Linia L dzieli powierzchnię części wspólnej kuli i stożka na dwa obszary: 'górny', będący częścią sfery i 'spodni', będący częścią powierzchni stożka.

Na poniższym rysunku okrąg o średnicy OW leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi WW' stożka.
Przesuwaj punkt P po tym okręgu.
Punkt S skonstruowany jest tak, że

SP  =  PW     oraz     SP  ||  WW' .
Jakie ma własności?

 

Rysunek dynamiczny - można przesuwać pogrubione punkty i suwaki (aplet C.a.R.)

 

Zauważ, że:
  - punkt S leży na powierzchni walca o podstawie będącej kołem o średnicy OW ,
  - kąt SWW' - 45o (dlaczego?), więc punkt S leży na powierzchni bocznej stożka,
  - trójkąty OPW i OPS są przystające (dlaczego?),
  - SO = OW (dlaczego?), więc punkt S leży na sferze (na powierzchni kuli).

Zatem punkt S leży na linii L.
Ponadto widzimy, że:
  - L jest częścią wspólną sfery i powierzchni walca,
  - L jest częścią wspólną powierzchni stożka i powierzchni walca,
czyli powierzchnia stożka, powierzchni walca i powierzchnia kuli spotykają się wzdłuż linii L.

 

Rysunek dynamiczny - można obracać (aplet www.javaview.de/) -

Widoki:            

 

 

Powyższe obserwacje można również wyrachować.
Mianowicie gdy mamy równanie sfery i powierzchni stożka:

x2 + y2 + z2  =  1,    i    z2  =  (x - 1)2 + y2,  z 0 ,
to linia L jest po prostu rozwiązaniem takiego układu równań.

Gdy w pierwszym równaniu za z2 wstawimy prawą stronę drugiego równania, to dostajemy równanie okręgu:  (x - 1/2)2 + y2  =  1/4 , rzutu L na płaszczyznę OXY.

Rzut L na płaszczyznę OXZ jest zawarty w paraboli   x  =  1 - z2   (w pierwszym równaniu za y2 wstawiamy wielkość wyznaczoną z drugiego równania).

Rugując z układu zmienną x, dostajemy równanie   z4 - z2 + y2 = 0   rzutu L na płaszczyznę OYZ.

 

 

Na koniec podamy już bez uzasadnień kilka dalszych własności, wszystkie dla R = 1 (niektóre z nich można uzasadnić elementarnie):

  -  linia L ogranicza na sferze obszar o polu   - 2 ,

  -  linia L ogranicza na powierzchni stożka obszar o polu   /4 ,

  -  po rozwinięciu powierzchni walca, linia L ma kształt sinusoidy,

  -  obszar walca 'pod' linią L ma pole   2 ,

  -  objętość części wspólnej kuli i stożka jest równa   /3 - 8/9 ,

  -  objętość części walca 'pod' sferą jest równa   /3 - 4/9 ,

  -  objętość części walca 'pod' stożkiem jest równa   4/9 ,

  -  linia L ma długość, która nie wyraża się 'ładnym' wzorem.