Klin ze stożka

Data ostatniej modyfikacji:
2010-04-7
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna
Wszystkie rysunki w tym tekście są dynamiczne. Można przesuwać 'suwaki' znajdujące się z lewej strony. Rysunki utworzono za pomocą programu C.a.R. Dziękujemy Rene Grothmannowi.   

 

Sposobem na obliczanie objętości klinów wyciętych z walca okazało się podzielenie ich na mniejsze kliny (zajrzyj koniecznie do artykułu Klina klinem). Czy jest to dobra metoda także dla klinów wyciętych ze stożka? Sprawdź!

 

Klin wycinamy ze stożka (o promieniu podstawy R i wysokości H) płaszczyzną przechodzącą przez średnicę AB podstawy. Wielkość otrzymanego klina zależy od kąta nachylenia tej płaszczyzny do podstawy stożka.

 

 

Klin ten ma trzy niby-ściany, nazwiemy je:
  - podstawa, ściana będącą połową podstawy stożka,
  - skos, ściana zawarta w płaszczyźnie tnącej,
  - kora, ściana będąca częścią powierzchni bocznej stożka.
Pierwsze dwie są płaskie. Kora może być rozprostowana (tak jak powierzchnia boczna stożka).

 

 

Korę przybliżamy płotem zbudowanym ze sztachet (podobnie jak robilismy to dla klinów wycinanych z walca). Zobaczmy, jak wygląda pojedyncza sztacheta KLMN.
Jest ona wyznaczona przez punkt P, leżący na półokręgu podstawy i przez szerokość odcinka KL (stycznego do półokręgu w P, z punktem P w środku). Punkty M, N leżą na płaszczyźnie skosu. KLMN nie jest trapezem (za wyjątkiem przypadku P=C). Jest to fragment trójkąta WKL, przybliżającego część powierzchni bocznej stożka.
Wszystkie takie sztachety (niezależnie od położenia P i szerokości) są tak samo nachylone do podstawy, tzn. pod kątem, jaki z podstawą tworzą tworzące stożka: OPW = OCW.

 

 

Gdy połączymy wierzchołki sztachety z punktem O, zobaczymy mały klinek - ostrosłup KLMNO o podstawie KLMN.
Zobacz, że te małe kliny mają taką samą wysokość h (obróć sztachetę).
Spodek wysokości, punkt OKLMN, nie zawsze leży na podstawie. Leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez podstawę (czyli na płaszczyźnie trójkąta KLW).
Co więcej, wysokość klinka jest prostopadła do tworzącej PW, zatem wszystkie klinki mają wysokość h równą wysokości trójkąta WOC, opuszczonej z O na bok WC, stąd

(oblicz pole trójkąta WOC na dwa sposoby).

 

 

Wszystkie małe klinki razem przybliżają duży klin. Zatem objętość V klina jest (niemal) równa sumie objętości małych klinów. Ponieważ mają one jednakową wysokość h, obliczając sumę ich objętości można oddzielnie zsumować pola podstaw i potem pomnożyć przez h. Suma pół tych podstaw jest (niemal) równa polu powierzchni kory. Zatem:

 

 

Jak obliczyć pole powierzchni kory?
 
Na poniższym rysunku zaznaczono cień skosu (ciemnoniebieski) i cień kory (jasnoniebieski).
(Używamy tu słowa 'cień' jako skrótu od: 'rzut prostokątny na podstawę stożka'.)
Przyglądając się zielonemu prostokątowi (na skosie) i jego szaremu cieniowi (na podstawie), zobaczymy, że

pole skosu = pole cienia skosu × OD / OD' ,
(wyznacz stosunek pól tych prostokątów - możesz przesunąć prostokąty, chwytając za czarne punkty).
Podobnie jest dla kory - pomyśl o prostokątach narysowanych na sztachetach o jednej parze boków równoległych do podstawy. Mamy teraz:
pole kory = pole cienia kory × WC / OC .

 

 

Dalej obliczymy szczegóły przy dodatkowym założeniu:

kąt nachylenia skosu  =  kąt nachylenia tworzących stożka,
czyli gdy    WC / OC  =  OD / OD' .

Wtedy łatwo jest wyznaczyć pole powierzchni całkowitej klina:

pole klina  =  pole podstawy  +  pole skosu  +  pole kory,
czyli
pole klina  =   +  WC / OC × pole podstawy,
skąd
pole klina  = 

Przy tym dodatkowym założeniu można zauważyć (jak zrobił to już Archimedes), że linia rozgraniczająca cienie skosu i kory jest fragmentem paraboli.
Mianowicie najpierw zauważ, że 'zgięty niby-trójkąt' PZXU jest 'podobny' do COD.
Dalej sprawdź, że OZ = ZY, czyli że punkty linii rozdzielającej cienie leżą w jednakowej odległości od punktu O i od prostej stycznej do półokręgu w punkcie C.

 

 

Dalej elementarnie można sprawdzić, że obszar pomiędzy parabolą a odcinkiem AB ma pole równe 2/3 R 2 (patrz: zadanie 5 i wniosek C z tekstu Parabola bez rachunków). Zatem

 
pole cienia skosu  =  ,
 
pole cienia kory  =  ,
skąd mamy:
pole skosu  =  ,
 
pole kory  =  ,
 
pole klina  =  ,
 
objętość klina  =  ,
przy założeniu:
kąt nachylenia skosu  =  kąt nachylenia tworzących stożka.

 


 

Na zakończenie zobaczmy dowód twierdzenia:

objętość klina  =  1/3 H × pole cienia kory.
Wystarczy przesunąć suwak t do pozycji 1 i... patrzeć! Bez rachunków widać powyższą równość!

 

 

 

Powrót na górę strony