Parabola bez rachunków

Data ostatniej modyfikacji:
2010-03-23
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
fizyka
Rysunki w tym tekście zostały utworzone za pomocą programu C.a.R. - dziękujemy Rene Grothmannowi.
Wszystkie rysunki są dynamiczne (można przesuwać wskazane punkty).
W przypadku gdy jakiś rysunek nie jest wyświetlany, należy odświeżyć stronę.

 

Niech k oznacza ustaloną prostą, a O - punkt poza tą prostą.
Miejsca jednakowo odległe od O i od k tworzą linię zwaną parabolą. Oznaczmy ją Par(O,k).

 

Zadanie 0 
Jak wyznaczać punkty paraboli Par(O,k)?

Rozwiązanie.
Dla zadanego punktu P' na prostej k, punkt P przecięcia symetralnej odcinka OP' i prostej prostopadłej do k przechodzącej przez P' jest punktem paraboli Par(O,k).
(Zobacz kroki konstrukcji - kliknij .)

Uwaga
Dla (dowolnego) punktu Z przez Z' oznaczmy taki punkt na k, że ZZ' jest odległością Z od k, czyli prosta Z'Z jest prostopadła do k.
Dla punktu P paraboli Par(O,k) przez sP oznaczamy symetralną odcinka OP'.


 

 

Zadanie 1
Niech punkt P leży na paraboli Par(O,k).
Niech punkt X P leży na prostej sP Uzasadnij, że

X nie leży na paraboli Par(O,k).

Rozwiązanie

 


 

 

Zadanie 2
Niech punkt P leży na paraboli Par(O,k). i niech punkt Y leży po przeciwnej stronie prostej sP niż punkt O.
Uzasadnij, że

Y nie leży na paraboli Par(O,k).

Rozwiązanie

 


 

Wniosek A
Proste sPpodpierającymi, tzn. parabola leży po jednej stronie prostej sP.
(To 'niemal' to samo co stwierdzenie: sP są stycznymi do paraboli.)

 

 

Zadanie 3
Niech punkt Z leży 'pod' parabolą. Skonstruuj taki punkt P paraboli Par(O,k), że

Z leży na sP.

Wskazówka

Rozwiązanie

Uwaga


 

 

Zadanie 4
Niech punkt P leży na paraboli Par(O,k) i punkt P'' leży na półprostej P'P poza odcinkiem P'P.
Niech nP będzie prostą prostopadłą do sP przechodzącą przez punkt P.
Uzasadnij, że

nP jest dwusieczną kąta OPP'',
czyli    | 0PN |  =  | NPP'' | .

Rozwiązanie


 

 

Wniosek B
Promienie z żarówki umieszczonej w punkcie O, po odbiciu od paraboli utworzą równoległą wiązkę światła.

 

Wniosek B'
Lusterko w kształcie paraboloidy obrotowej (tzn. powierzchni powstałej z obrotu paraboli względem jej osi symetrii OO'), ustawione osią symetrii w kierunku słońca, skupi promienie słoneczne w punkcie O (ognisko).


 

 

Zadanie 5
Niech punkt P leży na paraboli Par(O,k).
Niech punkty K,L leżą na prostej sP tak, że P jest środkiem odcinka KL.
Uzasadnij, że

pole KK'L'L  =  2 . pole KL0 .

Rozwiązanie


 

 

Wniosek C 
Niech P,Q leżą na paraboli Par(O,k).
Parabola dzieli wielokąt OPP'Q'Q
na dwa obszary, których stosunek pól jest równy 2 : 1.

Szkic dowodu
Stosujemy n razy tezę Zadania 5 dla wielokątów przybliżających owe obszary.
(Na rysunku zwiększ n, przesuwając czerwoną kropkę.)
Możliwość budowania takich przylegających trapezów (i trójkątów) wynika z tezy zadania 3.


 

 

Zadanie 6 
Niech P,Q leżą na paraboli Par(O,k).
Niech punkt K będzie punktem przecięcia prostej sP i symetralnej odcinka P'Q'.
Uzasadnij, że

K leży na prostej sQ .

Rozwiązanie


 

 

Zadanie 7
Niech P,Q,R leżą na paraboli Par(O,k) tak, że R' leży na symetralnej odcinka P'Q'.
Niech punkt K będzie punktem przecięcia prostej sP i symetralnej odcinka P'Q'.
Uzasadnij, że

środek odcinka PK leży na prostej sR
i środek odcinka KQ leży na prostej sR.

Rozwiązanie


 

 

Zadanie 8
Niech P,Q,R leżą na paraboli Par(O,k) tak, że R' leży na symetralnej odcinka P'Q'.
Uzasadnij, że

prosta sR jest równoległa do odcinka PQ.

Rozwiązanie


 

 

Zadanie 9
Niech P,Q leżą na paraboli Par(O,k)
i niech K będzie punktem przecięcia prostych sP i sQ. Niech L oznacza środek odcinka PQ.
Uzasadnij, że

środek odcinka KL jest punktem paraboli Par(O,k).

Rozwiązanie


 

 

Zadanie 10
Niech P,Q leżą na paraboli Par(O,k)
i niech K będzie punktem przecięcia prostych sP i sQ. Niech L oznacza środek odcinka PQ i niech M i N oznaczają środki odcinków PK i PL
Parabola dzieli odcinek MN; w jakim stosunku?

Rozwiązanie


 

 

Uwaga
Na rysunku pokazano jak, mając punkty P, Q paraboli i proste sP, sQ, wyznaczać dalsze punkty paraboli (te czerwone). Czerwone punkty są środkami odcinków o czarnych końcach o numerach o jeden mniejszych. (Na rysunku punkty, które wydają się środkami pewnych odcinków są faktycznie środkami.)
Liczby pokazują kolejność konstrukcji.
 
Czarne trójkąty coraz lepiej wypełniają obszar nad parabolą zawarty w trójkącie PQK. Obliczając sumę ich pól Archimedes pokazał, że obszar nad parabolą w trójkącie PQK ma pole równe 2/3 pola tego trójkąta.
Poniżej pokażemy to trochę inaczej.


 

Zadanie 11*
Niech P,Q leżą na paraboli Par(O,k)
i niech K będzie punktem przecięcia prostych sP i sQ. Niech P'', Q'' leżą na odcinkach PP' i QQ' tak, że P''Q'' || PQ i K leży na P''Q''.
Uzasadnij, że:
a)  pole PKO + pole QKO = pole PKP' + pole QKQ',
b)  pole P'KP'' + pole Q'KQ'' = pole PQO,
c)  pole P'P''Q''Q' = 2 . pole PQO,
d)  parabola dzieli obszar P''PQQ'' w stosunku 2 : 1,
e)  obszar nad parabolą w trójkącie PQK ma pole równe 2/3 pola tego trójkąta.

Rozwiązanie


 

 

Zadanie 12*
Mając tylko punkty P,Q paraboli Par(O,k) i proste sP i sQ, skonstruuj prostą k i punkt O.

Szkic rozwiązania


 

 

Powrót na górę strony