Własności działań

Data ostatniej modyfikacji:
2014-01-5

Poniżej podajemy podstawowe własności różnych działań z przykładami ich zastosowania.


Przemienność

Oznacza, że możemy dowolnie zmieniać kolejność liczb występujących w działaniu, np.

  • dodawanie jest przemienne, bo a + b = b + a,
  • mnożenie jest przemienne, bo a x b = b x a.

Przemienność działań stosujemy zawsze, gdy zmiana kolejności ułatwia obliczenia, np.

  • zamiast dodawać liczby tak: 11+12+13+14+15+16+17+18+19, dodajemy tak: 11+19+12+18+13+17+14+16+15, bo łatwo obliczyć, że to 30+30+30+30+15, czyli 135,
  • zamiast mnożyć liczby tak: 2·7·5·3, mnożymy tak: 2·5·7·3, bo łatwo obliczyć, że to 10·21, czyli 210.

Uwaga! Dodawanie może nie być przemienne, jeśli liczba składników jest nieskończona, np. suma liczb ... wynosi około 0,693, ale przestawiając odpowiednio składniki można otrzymać sumę dowolnie bliską 2. Wtedy trzeba zacząć w takiej kolejności: ...


Nieprzemienność

Oznacza, że nie możemy zamieniać kolejności liczb w działaniu, np.

  • odejmowanie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a - b = b - a,
  • dzielenie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a : b = b : a,
  • potęgowanie jest nieprzemienne, bo nie zawsze ab = ba,
  • dodawanie może być nieprzemienne, jeśli liczba składników jest nieskończona (patrz przykład wyżej).


Łączność

Oznacza, że przy działaniach na większej ilości liczb możemy dowolnie łączyć je nawiasami i obliczać wyniki cząstkowe.

  • Dodawanie jest łączne, bo liczmy np. tak: 11+19+12+18+13+17+14+16 = (11+19) + (12+18) + (13+17) + (14+16) = 30+30+30+30 = 120
  • Mnożenie jest łączne, bo liczymy np. tak: 2x5x7x3 = (2x5) x (7x3) = 10x21 = 210.
  • Potęgowanie nie jest łączne, bo wstawiając na dwa sposoby nawiasy w wyrażeniu , otrzymamy .

Uwaga! Dodawanie i mnożenie mogą nie być łączne, jeśli ilość liczb w działaniu jest nieskończona, np. jeśli wstawimy nawiasy do sumy 1+(-1)+1+(-1)+1... w taki sposób:

  • [1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]..., to otrzymamy 0+0+0..., czyli 0,
  • 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+..., to otrzymamy 1+0+0+... czyli 1.


Rozdzielność

Jedno działanie może być rozdzielne względem innego działania. Jeśli te dwa działania oznaczymy jako ° (kółko) i × (krzyżyk), to

  • rozdzielność kółka względem krzyżyka oznacza, że (b×c) = b × c
  • rozdzielność krzyżyka względem kółka oznacza, że a×(c) = a×b ° a×c

Uwaga! Rozdzielność nazywamy też prawem wyciągania wspólnego czynnika przed lub za nawias. Wiele razy z tego prawa korzystamy w rachunkach, np x2+x = x(x+1) albo 7x +3x =
(7+3)x = 10x.

Uwaga! Tak naprawdę powyżej zapisaliśmy tylko prawostronną rozdzielność jednego działania względem drugiego. Może zachodzić też lewostronna rozdzielność. Czy potrafisz zapisać, jakie warunki są wtedy spełnione? Jeśli działanie jest przemienne, jego prawa- i lewostronna rozdzielność zachodzą jednocześnie. Jeśli nie jest przemienne, rozdzielność może zachodzić z jednej strony, a z drugiej nie. Czy potrafisz podać przykłady takich działań?

 

  • Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, bo a·(b+c) = a·b + c.
    Ta rozdzielność zachodzi też z lewej strony (bo mnożenie jest przemienne),
    (b+ca = b·a + c·a
  • Mnożenie jest rozdzielne względem odejmowania, bo (b-c) = b - c.
  • Dodawanie nie jest rozdzielne względem mnożenia, bo a+c ≠ (a+b) · (a+c).
  • Potęgowanie jest rozdzielne względem mnożenia, bo (b)c = ac · bc.
  • Mnożenie nie jest rozdzielne względem potęgowania, bo bc abac.
    Łatwiej widać tę własność, gdy jako symbolu potęgowania użyje się (jak w kalkulatorze lub w komputerze) znaku "^": (b^c) ≠ b ^ c.
  • Potęgowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, bo np. (a+b)2a2 + b2.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania lub odejmowania stosujemy np. przy mnożeniu liczb dwu- i trzycyfrowych, aby ułatwić sobie rachunki, np.

  • 21·7 obliczamy tak: 20·7 + 1·7 = 140+7 = 147,
  • 99·6 obliczamy tak: 100·6 - 1·6 = 600-6 = 594,
  • 231·3 obliczamy tak: 200·3 + 30·3 + 1·3 = 600+90+3 = 693.

 

Powrót na górę strony