Podzielność (*)

6.27[1,0,0,1]

1) Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, reszta z dzielenia liczby n ² przez k jest równa 0 lub 1. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

1a) k = 3?

1b) k = 5?

1c) k = 6?

1d) k = 4?

7.1[0,1,0,1]

2) Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez m i przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

2a) m = 12, n = 15?

2b) m = 13, n = 18?

2c) m = 14, n = 21?

2d) m = 15, n = 22?

7.25[0,1,1,0]

3) Liczba naturalna n > 1 przy dzieleniu przez q daje resztę r. Dla każdej liczby naturalnej d spełniającej warunki:
-    1 < d < n,
-    reszta z dzielenia liczby d przez q jest równa r,
sprawdzono, że liczba n nie jest podzielna przez d.
Czy stąd wynika, że liczba n jest liczbą pierwszą, jeżeli

3a) q = 4, r = 1?

3b) q = 4, r = 3?

3c) q = 6, r = 5?

3d) q = 8, r = 7?

7.27[1,1,0,0]

4) Niech S(k) oznacza sumę cyfr liczby k. Określamy ciąg (a_n) wzorami:
a₁ = 1 oraz  a_n+1  =  a_n + S(a_n)   dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że podana liczba jest podzielna przez 3?

4a) a₂₀₀₅ - 2005

4b) a₂₀₀₆- 2006

4c) a₂₀₀₇ - 2007

4d) a₂₀₀₈ - 2008

7.30[0,1,1,0]

5) Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, liczba n³ przy dzieleniu przez k daje jedną z trzech reszt: 0, 1 lub k-1. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

5a) k = 5?

5b) k = 7?

5c) k = 9?

5d) k = 11?

8.18[0,0,0,1]

6) Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez 2m i przez 2n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

6a) m = 3, n = 5?

6b) m = 6, n = 9?

6c) m = 8, n = 12?

6d) m = 10, n = 14?

8.30[0,0,0,1]

7) Niech F₁ = F₂ = 1 oraz F_n+2 = F_n+1 + F_n dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że podana liczba jest podzielna przez 3?

7a) F₂₀₀₅

7b) F₂₀₀₆

7c) F₂₀₀₇

7d) F₂₀₀₈

4.3[1,0,0,1]

8) Liczba naturalna k jest podzielna przez n wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr dziesiętnych liczby k jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest cechą podzielności przez n, jeżeli

8a) n = 3?

8b) n = 5?

8c) n = 7?

8d) n = 9?

4.14[1,0,0,1]

9) Liczby całkowite dodatnie a < b < c < d tworzą czterowyrazowy ciąg geometryczny. Czy stąd wynika, że

9a) liczba ac jest kwadratem liczby całkowitej?

9b) liczba ad jest kwadratem liczby całkowitej?

9c) liczba ad jest sześcianem liczby całkowitej?

9d) liczba bcd jest sześcianem liczby całkowitej?

4.29[1,1,0,0]

10) Liczby  p  i  p + 2 są liczbami pierwszymi. Czy stąd wynika, że

10a) liczba p + 22 jest złożona?

10b) liczba p² +1 jest złożona?

10c) liczba p +10 jest złożona?

10d) liczba p + 32 jest złożona?

5.15[0,0,1,0]

11) Dane są liczby całkowite a, b $\in$ {0, 1, 2,...,100}. Wiadomo, że reszty z dzielenia liczb a i b przez m są równe, oraz że reszty z dzielenia liczb a i b przez n są równe. Czy stąd wynika, że a = b, jeżeli

11a) m = 7,   n = 11?

11b) m = 10,   n = 14?

11c) m = 13,   n = 17?

11d) m = 16,   n = 20?

5.22[1,1,0,1]

12) Niech a$\oplus$b oznacza resztę z dzielenia liczby a+b przez 2 ⁸ = 256, natomiast niech c$\%$d oznacza resztę z dzielenia liczby c przez d. Czy wtedy

12a) $(100\oplus137)\%3=(100+137)\%3$

12b) $(100\oplus147)\%4=(100+147)\%4$

12c) $(100\oplus157)\%6=(100+157)\%6$

12d) $(100\oplus167)\%8=(100+167)\%8$

5.27[1,1,0,1]

13) Działanie m$\diamond$n zdefiniowane jest następująco. Rozkładamy każdą z liczb m, n na sumę różnych potęg dwójki, wykreślamy składniki powtarzające się w obu sumach, a następnie dodajemy składniki niewykreślone w obu sumach.
Na przykład dla m = 13 i n = 6 mamy 13 = 8+4+1 oraz 6 = 4+2. Pomijając wspólny składnik 4, otrzymujemy 13$\diamond$6 = 8+2+1 = 11. Czy zgodnie z powyższą definicją

13a) 3$\diamond$4 = 7?

13b) 7$\diamond$3 = 4?

13c) 9$\diamond$5 = 13?

13d) 7$\diamond$11 = 12?

5.30[1,1,1,1]

14) Ciąg (F_n) jest określony wzorami F₁ = F₂ = 1 oraz  F_n+2 = F_n+1 + F_n dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że w ciągu (F_n) istnieje wyraz podzielny przez

14a) 2004?

14b) 2005?

14c) 2006?

14d) 2007?

4.6[1,1,0,1]

15) Czy podany wielomian przyjmuje wartości całkowite dla każdego argumentu całkowitego x?

15a) x² + x

15b) ${x^2\over2}+{x\over2}$

15c) ${x^2\over3}+{x\over3}$

15d) ${x^2\over2}-{x\over2}$