Elementy mechaniki - podstawy mechaniki teoretycznej- O równowadze figur płaskich - własności środka ciężkości figury, współrzędne barycentryczne
- O liczeniu piasku - wielkie liczby i nieskończoność
- O kuli i walcu - obliczanie powierzchni i objętości walca, stożka, kuli i czaszy kulistej
- O konchoidach i sferoidach - krzywe płaskie, w tym spiralne i stożkowe
- O ciałach pływających - prawa hydrostatyki i aerostatyki
- Stomachion - liczba sposobów ułożenia starożytnego tangramu
Był jednym z najwybitniejszych i najwszechstronniejszych greckich matematyków, fizyków i konstruktorów. Urodził się w bogatym, handlowym mieście Syrakuzy na Sycylii, będącym wówczas kolonią grecką. Jego ojciec - Fidiasz - był astronomem i od małego wpajał synowi zamiłowanie do badań naukowych. Młody Archimedes dużo podróżował. Wykształcenie zdobył w słynnej bibliotece w Aleksandrii (była ona pierwowzorem dzisiejszych uniwersytetów). Poznał tam aleksandryjskich uczonych, z którymi później do końca życia korespondował. Byli wśród nich m.in. astronomowie Konon i Dositeos oraz matematyk Eratostenes. Listy te przypominają nowoczesne rozprawy naukowe. Każdy poświęcony jest jednemu tematowi i podaje nowe rezultaty przedstawione z nienaganną ścisłością.
Mimo głębokiego zainteresowania, jakie żywił Archimedes do mechaniki, optyki czy astronomii, najważniejsza w jego życiu była matematyka. Był nią opętany do tego stopnia, że poświęcał jej cały swój czas, często zapominając o podstawowych potrzebach. Według Plutarcha nie dbał o siebie, głodował, bo zapominał o konieczności jedzenia, i zaniedbywał higienę osobistą.
Matematyka
Do najwybitniejszych osiągnięć Archimedesa pod względem uzyskanych wyników i nowatorstwa zastosowanych metod zaliczyć trzeba wyznaczenie formuły na powierzchnie i objętości brył takich jak walec, stożek, czy kula. Zastosował w tym celu pomysły, które wyprzedziły matematykę grecką o wiele epok. Dziś zaliczamy je do rachunku różniczkowego i całkowego, dlatego Archimedesa uważa się za prekursora rachunku nieskończonościowego i ojca analizy matematycznej, a także kombinatoryki.
Na marginesie swoich badań Archimedes zajmował się własnościami liczby pi. Próbując znaleźć jak najlepsze jej oszacowanie, uzyskał rezultat [tex]3\frac{1137}{8069}<\pi <3\frac{1335}{9347}[/tex], co daje dokładność rzędu 0,002. Ponadto Archimedes spopularyzował przybliżenie π ≈ 22/7, które jest najlepszym przybliżeniem wymiernym o mianowniku nie większym od 7.
Archimedes zajmował się obliczaniem objętości i powierzchni figur krzywoliniowych, położeń ich środków ciężkości, prowadzeniem do nich stycznych i obliczaniem ekstremów. Dla rozwiązania tych problemów stworzył metody, które stosujemy do tej pory w rachunku różniczkowym i całkowym: metodę sum całkowych górnych i dolnych, nieskończenie mały trójkąt charakterystyczny do wyznaczania stycznych, metodę sprowadzania zadań na ekstremum do wyznaczania stycznych. Jego traktat o kwadraturze odcinka paraboli, jest pierwszym w historii obliczeniem pola figury krzywoliniowej różnej od koła.
Fizyka
W Elementach mechaniki wyłożył podstawy mechaniki teoretycznej. Sformułował i udowodnił prawo dźwigni.
Odkrył jedno z podstawowych praw hydro- i aerostatyki - prawo wyporu - zwane dziś jego imieniem. Podobno odkrył je kąpiąc się w napełnionej po brzegi wannie, z której przelała się woda. Z radości wyskoczył z kąpieli tak, jak stał, i biegał nago po ulicach Syrakuz krzycząc Eureka! (co znaczy "odkryłem").
Jest autorem księgi O równowadze figur płaskich, czyli o środkach ciężkości figur i wykorzystaniu ich do obliczania pól i objętości. Praca ta jako jedyna zachowała się w całości. W dziele tym, które położyło podwaliny pod statykę jako naukę, Archimedes, wychodząc z wyraźnie sformułowanych założeń fizycznych, dowodzi sławnego prawa dźwigni: wielkości (których ciężary mogą być zarówno współmierne, jak i niewspółmierne) są w równowadze, jeśli ich odległości od punktu podparcia są odwrotnie proporcjonalne do ich ciężarów. Prawo to zastosował później do obliczania pól i objętości.
W innym dziele O ciałach pływających Archimedes sformułował podstawowe prawo hydrostatyki, noszące jego imię, i znalazł położenie stabilnej równowagi prostego odcinka paraboloidy obrotowej. Wyszedł przy tym z oczywistego warunku koniecznego równowagi, polegającego na tym, że środek ciężkości wypartej objętości cieczy i środek ciężkości ciała leżą w jednym pionie (inaczej bowiem siła ciężkości i siła parcia cieczy tworzyłyby parę sił, która wyprowadziłaby ciało z położenia początkowego).
Archimedes zajmował się także optyką geometryczną. O jego Katoptryce wiemy ze słów rzymskiego architekta Witruwiusza, który podaje, że była tam mowa o odbiciu przedmiotów w zwierciadłach płaskich, wypukłych i wklęsłych, o zwierciadłach palących, o przyczynie tęczy. Archimedes wiedział, że kąt padania promienia świetlnego jest równy kątowi odbicia.
Astronomia
Zbudował globus i planetarium.
Wynalazczość
Był pomysłodawcą wielu wynalazków takich jak: przenośnik śrubowy (ślimacznice), organy wodne, machiny obronne. Zajmował się też udoskonalaniem wielokrążka.
Archimedes był nie tylko wybitnym teoretykiem. Z przekazów historycznych wiadomo o jego niezwykłych konstrukcjach. Jednym z najsłynniejszych jego wynalazków była ślimacznica do wypompowywania wody (śruba wodna), do tej pory jeszcze używana w Afryce do nawadniania pól lub w Holandii do przepompowywania wody z polderów. Znalazła ona zastosowanie także w mikropompach kardiochirurgicznych. Archimedesowi przypisuje się też wynalezienie zadziwiających machin wojennych do obrony Syrakuz przed najazdami Rzymian (m.in. pazura do zatapiania okrętów), wielokrążka i dźwigu portowego, a także zwierciadeł parabolicznych, które skupiając promienie słoneczne, podpalały rzymskie okręty stojące w morzu. Dzięki tym wynalazkom, Syrakuzy pozostawały przez długi czas niezdobyte. Dopiero wskutek zdrady zostały zajęte przez Rzymian jesienią 212 roku p.n.e. Wtedy zginął Archimedes.
- Prawo wyporu (zwane dziś prawem Archimedesa) - podstawowe prawo hydro- i aerostatyki
Wersja oryginalna: Ciało zanurzone w cieczy lub w gazie traci pozornie na ciężarze tyle, ile waży ciecz lub gaz wyparte przez to ciało.
Wersja współczesna: Na ciało zanurzone w cieczy lub gazie działa pionowo skierowana ku górze siła wyporu. Jej wartość jest równa ciężarowi wypartej cieczy lub gazu.
- Aksjomat Archimedesa - o nieograniczoności prostej
Wersja arytmetyczna: Dla dowolnych wielkości a i b jednego rodzaju istnieje takie całkowite zwielokrotnienie wielkości b, które jest większe od a, tzn. że dla każdej pary dodatnich liczb rzeczywistych a i b istnieje taka liczba naturalna n, że a < n·b.
Wersja geometryczna: Każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. - Prawo dźwigni - opis stanu równowagi
Równowaga zachodzi wtedy, gdy iloczyny długości ramion przez odpowiednie ciężary (siły) są równe, tzn. F1r1 = F2r2. - Prawa równi pochyłej:
- bez tarcia a = gsinα,
- z tarciem a = (gsinα + μcosα),
gdzie a - przyspieszenie w ruchu po równi, g - przyspieszenie ziemskie,
α - kąt nachylenia równi, μ - współczynnik tarcia statycznego
- Spirala Archimedesa - krzywa płaska o równaniu
- we współrzędnych biegunowych r = a·α,
- we współrzędnych parametrycznych x = a· sinα, y = a·cosα, gdzie a jest parametrem (tzw. skok spirali).
Spiralę taką zakreśla punkt, który porusza się jednostajnie po półprostej, która z kolei jednostajnie obraca się wokół swojego początku.
Wynalazki:
- Przenośnik śrubowy (zwany też ślimakowym lub ślimacznicą albo śrubą Archimedesa) - urządzenie do przemieszczania materiałów sypkich lub cieczy za pomocą śruby obracającej się wewnątrz koryta
- Organy wodne - ciśnienie powietrza regulowane było za pomocą zbiornika z wodą.
- Machiny obronne stosowane do obrony Syrakuz.
- Wielokrążek - układ lin i krążków umożliwiający przełożenie siły, dzięki któremu można podnieść duży ciężar przy użyciu niewielkiej siły.
O Archimedesie krążyło wiele anegdot i nawet jeśli nie wszystkie są zupełnie prawdziwe, to jednak dają pojęcie o tym wielkim człowieku.
- Archimedes był zamożny i przyjaźnił się z królem Syrakuz. Podobno pewnego dnia król zadał mu trudne pytanie. Pragnął mianowicie dowiedzieć się, czy jego koronę wykonano z czystego złota, czy też złotnik oszukał go, mieszając je z jakimś tańszym metalem. Archimedes nie mógł tego rozstrzygnąć aż do dnia, gdy wstępując do wanny, spostrzegł nagle, że poziom wody rośnie, w miarę jak zanurza się jego ciało. Wyskoczył wówczas z wanny i biegł nagi ulicami, krzycząc: "Eureka! Eureka!", co znaczy "Znalazłem!" Potem dokonano eksperymentu z koroną. Archimedes mógł określić jej wagę, mierząc wzrost poziomu wody po jej zanurzeniu. Później wziął kawałek czystego złota o wadze korony i zanurzył go w wodzie. Czy miał tę samą wyporność co korona? Czy poziom wody podniósł się do tej samej wysokości? Nie! A zatem korona nie została wykonana z czystego złota i złotnika ścięto.
Inna anegdota mówi o tym jak Archimedes w czasie drugiej wojny punickiej kierował pracami inżynieryjnymi przy obronie Syrakuz. Rzymianie myśleli, że sami bogowie bronią miasta, gdyż za murami schowane machiny oblężnicze jego konstrukcji ciskały pociski w ich stronę. Syrakuzy zostały w końcu zajęte, ale konsul rzymski Marcellus nakazał wziąć Archimedesa żywcem i traktować go z szacunkiem. Jednakże rozkazu nie posłuchał jeden z rzymskich żołnierzy. Gdy zobaczył, że Archimedes rysuje na piasku jakieś wzory, zaczął je deptać. Wówczas matematyk rzekł: "noli turbare circulos meos" co oznacza "nie niszcz moich kół". Rozgniewany tym żołdak, zabił go. Marcellus kazał pochować Archimedesa z honorami i zgodnie z jego wolą wyryć na kamieniu nagrobnym kulę i wpisany weń walec, na znak, że zmarły był wielkim matematykiem. Właśnie ta konfiguracja figur doprowadziła do wyznaczenia przez Archimedesa nieznanej wcześniej formuły na objętość kuli.- Pochłonięty rozwiązywaniem zadań matematycznych Archimedes przestał się myć i okropnie śmierdział. Gdy siłą nasmarowano go oliwą i ciągnięto do wody, by go wykąpać, kreślił na swoim ciele koła, kontynuując rozważania.
- Odkrywszy prawo wyporu podczas wchodzenia do wanny pełnej wody, wybiegł nago na ulicę krzycząc Eureka.
- Zbudował maszynę, za pomocą, której jednym ruchem ręki podnosił z miejsca ciężko naładowany statek i bez trudu przenosił go na ląd.
- Niekiedy podawał swoje twierdzenia bez dowodu, pozostawiając innym matematykom zadowolenie z ich uzasadnienia.
- Chcąc sprawdzić rzeczywistą wiedzę aleksandryjczyków, dodawał czasem w wywodach kilka fałszywych twierdzeń po to, by "tych, którzy twierdzą, że wszystko odkryli i nie podają żadnych dowodów tego, co odkryli, można było na tym przyłapać i zmusić do przyznania się że odkryli rzecz niemożliwą".
- Dajcie mi wystarczająco długą dźwignię i wystarczająco mocną podporę, a sam jeden poruszę cały glob.
- Heureka! (z gr. odkryłem)
- Przetnij kamień na pół, a będziesz miał dwa kamienie. Przetnij żabę na pół a będziesz miał tylko jedną martwą żabę.
- Noli turbare circulos meos (z gr. nie dotykaj moich kół).
