W popularnym teleturnieju po zanuceniu kilku taktów melodii odgaduje się tytuł piosenki, z jakiej pochodzi ten początek. Czy podobnie można bawić się z liczbami. Jaki jest siedemnasty wyraz ciągu: 7, 17, 117, ... ?
Odpowiedź: NIE WIADOMO. Może być jakikolwiek, bo nie podano 'rytmu', czyli reguły tworzenia kolejnych wyrazów.
Jednak nie tylko 'muzykalni' spodziewają się, że
czwarty wyraz to 1117, piąty: 11117, ...,
siedemnasty: 11111111111111117.
Niemal wszyscy słyszą 'rytm': do poprzedniego wyrazu dopisz 1.
Trudno w jednym wierszu cyframi napisać wyraz dwusetny, ale można go łatwo 'opowiedzieć': 199 jedynek i na końcu siedem.
[TEX]\underbrace{111...1}_{199}7[/TEX]Jak to zapisać wzorem, bez żadnych kropek? Zobaczmy jak to zrobili Jaś i Staś.
|
[tex]\underbrace{111...1}_{199}7=[/tex] [tex] =\underbrace{111...11}_{200}+6=[/tex] [tex] =\frac{1}{9}\cdot \underbrace{999...9}_{200}+6 = [/tex] [tex] =\frac{1}{9}\cdot (1\underbrace{000...0}_{200}-1)+6= [/tex] [tex] =\frac{1}{9}\cdot (10^{200}-1)+6 [/tex] |
[tex]\underbrace{111...1}_{199}7=[/tex] [tex] =\underbrace{111...11}_{199}\cdot 10+7= [/tex] [tex] =(\frac{1}{9}\cdot \underbrace{999...9}_{199})\cdot 10+7 = [/tex] [tex] =(\frac{1}{9}\cdot (1\underbrace{000...0}_{199}-1))\cdot 10+7= [/tex] [tex] =(\frac{1}{9}\cdot (10^{199}-1))\cdot 10+7 [/tex] |
