Matematyczne mozaiki w sercu Wenecji

Data ostatniej modyfikacji:
2009-09-27
Autor: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna

Turyści zwiedzający Bazylikę Św. Marka w Wenecji zazwyczaj zadzierają wysoko głowy, podziwiając wspaniałe mozaiki na sklepieniu świątyni. Matematycy - przeciwnie - wędrując po bazylice, uporczywie wpatrują się w posadzkę. Tam mozaiki nie są może tak efektowne, ale dla nich znacznie ciekawsze. Pochodzą z XV wieku, a ich autorem jest Paolo Uccello (właśc. Paolo di Dono) - wybitny artysta włoskiego renesansu, uznawany za twórcę perspektywy.

Na zdjęciu obok widzimy najstarsze w historii przedstawienie bryły zwanej dwunastościanem gwiaździstym małym (znajdziesz ją na Portalu w Galerii wielościanów) w otoczeniu archimedesowych graniastosłupów sześciokątnych. Wizerunek ten jest dużo starszy niż nazwa bryły, którą nadał w XIX wieku Arthur Cayley. On też pierwszy opisał jej własności. Jest to przykład gwiaździstego wielościanu foremnego (wszystkie ściany są przystającymi foremnymi pięciokątami gwiaździstymi i wszystkie naroża są przystające). Takie bryły (niewypukłe odpowiedniki wielościanów platońskich) nazywamy wielościanami Keplera-Poinsota (od nazwisk ich odkrywców). Na początku XIX w. August Cauchy wykazał, że takich brył jest tylko cztery. Wybierającym się do Wenecji podpowiadamy, że znajdą tę mozaikę w wejściu do lewej nawy świątyni (na samym końcu trasy zwiedzania bazyliki).

Kolejna mozaika przedstawia równie piękny wielościan, choć matematycznie mniej interesujący, bo mniej regularny. Jeśli przyjrzymy się dokładniej, zauważymy, że jest to dwunastościan z doklejonymi ostrosłupami pięciokątnymi o foremnych ścianach bocznych.

Warto też zwrócić uwagę na wrażenie trójwymiarowości, jakiemu ulegamy patrząc na "kratkę" w dolnej części pierwszego zdjęcia. Tę mozaikę rzadko można oglądać w oryginale, znajduje się bowiem poza trasą turystyczną, w nawie głównej przed ołtarzem i na codzień zaścielona jest dywanem.

Oprócz unikatowych mozaik z wielościanami w wielu miejscach na posadzce bazyliki powtarzają się motywy geometrycznych parkietaży. Wśród nich kilka daje wrażenie trójwymiarowych dzięki zastosowaniu sugestywnej przestrzennej perspektywy, inne przedstawiają złudzenia optyczne polegające na różnej interpretacji wklęsłości i wypukłości ścian sześcianu. Są też mozaiki przedstawiające węzły zasupłane z jednego lub kilku okręgów. Więcej o tego typu mozaikach przeczytasz w tekście Mozaikowe węzły z Akwilei.

 

Prezentowane poniżej zdjęcia pochodzą z archiwów Damiana Buczkowskiego i Urszuli Karbowskiej.

 Mozaikowe parkietaże

Złudzenie trójwymiarowości

Złudzenie różnie zorientowanych sześcianów

Mozaikowe węzły

 

Byłem, nie widzialem

Byłem tam i nic takiego nie zauważyłem. Widocznie, jak wszyscy, patrzyłem w górę. Żałuję, że nie wiedziałem wcześniej, gdzie patrzeć należy. Ale to dobry pretekst, żeby pojechać jeszcze raz...

Też nie widzieliśmy

Ekipa nauczycieli matematyki uczestnicząca w wyprawie "Matematyczna Italia 2008" wiedziała dokładnie, co chciałaby w weneckiej bazylice zobaczyć. Niestety, mimo usilnych próśb (a nawet podjętej przez jednego z uczestników próby przekupienia strażników), nie udało się odsłonić nawet rąbka dywanu zasłaniającego ten drugi wielościan.

Deja vu

Podobne zdarzenie miałem w Kaplicy Sykstyńskiej w Watykanie. Tam zdjęć robić nie wolno, a na podłogach są fantastyczne mozaiki przedstawiające trzecie przybliżenie trójkąta Sierpińskiego (czy ktoś może dysponuje zdjęciem?). Po wyjściu obszedłem wszystkie stoiska z pocztówkami, których jest tam mnóstwo, i przy każdym powtarzała się mniej więcej podobna rozmowa:
- Do you have any photo of the floor of the Sistine Chapel?
- You mean the ceiling?
- No, the floor.
- No, sorry.

Te są podobne. Pochodzą z kościoła Santa Maria in Cosmedin (tam są słynne Usta Prawdy).

 

A to co?

To zdjęcie zrobiłam w jednej z kawiarni w Wenecji. Co to za wielościan?

Na bazie 12-ścianu

Gwiazda ze zdjęcia jest zbudowana na bazie foremnego dwunastościanu, zatem doklejone do jego ścian graniastosłupy są pięciokątne, ale sama gwiazda jest nieforemna. Gdyby doklejone ostroslupy były:

  • niższe, to powstałby dwunastościan gwiaździsty mały (opisany w artykule wyżej),
  • o foremnych ścianach, powstałaby druga z gwiazd opisanych w tekście,

a tak mamy coś ładnego, choć niekoniecznie bardzo interesującego matematycznie.

Powrót na górę strony